分布 (微分几何)

关于其它含义, 请参见 “分布”.

光滑流形上的分布是指其切丛的子丛, 即对每个点指定一个该点切空间的子空间, 并且该子空间光滑依赖于点的变化.

给定分布, 我们可以问该分布是否为可积分布, 也就是说, 这些子空间是否由某个叶结构中子流形的切空间给出. 微分几何中的 Frobenius 定理给出了分布可积的等价条件, 即要求该分布是对合分布.

1定义

定义 1.1 (分布). 设 $M$ 是 $n$ 维光滑流形, $0\le p\le n$ 为自然数. 则 $M$ 上秩 $p$ 的分布 $\mathcal{L}$ 给每个点 $x\in M$ 指定切空间 ${\mathrm{T}}_{x}M$ 的 $p$ 维子空间 ${\mathcal{L}}_x$, 满足以下条件:

•	对任意 $x\in M$, 存在其开邻域 $U$ 与其上 $p$ 个光滑向量场 $X_1,\dots ,X_p$, 使得对任意 $y\in U$, 向量组 $\{(X_1{)}_y,\dots ,(X_p{)}_y\}$ 是 ${\mathcal{L}}_x$ 的一组基.

定义 1.2 (对合分布). 设 $U\subset M$ 为开集, $X$ 是 $U$ 上向量场, $\mathcal{L}$ 为 $M$ 上分布.

称 $X$ 在 $U$ 上属于 $\mathcal{L}$, 若对任意 $x\in U$ 有 $X_x\in {\mathcal{L}}_x$.

称 $\mathcal{L}$ 为对合分布, 如果满足以下条件:

•	对任意开集 $U\subset M$, 及 $U$ 上属于 $\mathcal{L}$ 的向量场 $X,Y$, 其 Lie 括号 $[X,Y]$ 在 $U$ 上属于 $\mathcal{L}$.

定义 1.3 (可积分布). 设 $\mathcal{L}$ 为 $M$ 上分布.

$M$ 的连通浸入子流形 $S$ 称为 $\mathcal{L}$ 的积分流形, 若满足对任意 $y\in S$ 有 ${\mathrm{T}}_{y}S={\mathcal{L}}_x$.

称 $\mathcal{L}$ 为可积分布, 若满足以下条件:

•	$M$ 的每个点都在 $\mathcal{L}$ 的某个积分流形里.

此时, 所有积分流形构成 $M$ 上的叶结构.

微分几何中的 Frobenius 定理说明, 可积分布与对合分布的概念是等价的.

2例子

•

设 $M={\mathbb{R}}^n$, 设 $0\le p\le n$. 对任意 $x\in {\mathbb{R}}^n$, 定义 ${\mathcal{L}}_x\subset {\mathrm{T}}_x{\mathbb{R}}^n$ 为 $\partial /\partial x^1,\dots ,\partial /\partial x^p$ 张成的子空间. 则 $\mathcal{L}$ 为对合分布, 也为积分分布. 其积分流形是形如$$\{(x^1,\dots ,x^n)\in {\mathbb{R}}^n\mid x^{p+1}=a^{p+1},\dots ,x^n=a^n\}$$的 $p$ 维平面, 其中 $a^{p+1},\dots ,a^n$ 为给定的实数.

3参考文献

以下教材第 14 章介绍分布:

•	J. Lee (2012). Introduction to Smooth Manifolds, 2ed. Graduate Texts in Mathematics 218. Springer.

术语翻译

分布 • 英文 distribution • 法文 distribution

对合分布 • 英文 involutive distribution • 法文 distribution involutive