Lagrange 反函数公式

约定. 在本文中,

• 对 Laurent 级数 $f(z)$ 和整数 $n$, 以 $[z^n]f(z)$ 表示 $f(z)$ 的 $n$ 次项系数.

Lagrange 反函数公式是一元反函数定理的具体形式, 用形式幂级数各项系数表示其反函数各项系数.

1陈述

定理 1.1 (Lagrange 反函数公式). 设 $f(z)$, $g(z)$ 为交换环上形式幂级数, 满足其常数项为 $0$ 且互为反函数, 则对任意 $m,n\in \mathbb{Z}$, 都有$$n[z^n]f(z{)}^{-m}+m[z^m]g(z{)}^{-n}=0.$$特别地, 取 $n=-1$, 令 $\varphi (z)=\frac{z}{f(z)}$, 知$$[z^m]g(z)=\frac{1}{m}[z^{-1}]f(z{)}^{-m}=\frac{1}{m}[z^{m-1}]\varphi (z{)}^m.$$

证明. 使用形式留数. 记 $w=f(z)$, 则 $z=g(w)$. 记 $\mathrm{Res}(\psi (z)\mathrm{d}z)=[z^{-1}]\psi (z)$ 则由全微分的留数是 $0$ 知$$\begin{array}{rl}0& =-\mathrm{Res}(\mathrm{d}(z^{-n}{w}^{-m}))=-\mathrm{Res}(w^{-m}\mathrm{d}(z^{-n})+z^{-n}\mathrm{d}(w^{-m}))\\ & =n\mathrm{Res}(w^{-m}{z}^{-n-1}\mathrm{d}z)+m\mathrm{Res}(z^{-n}{w}^{-m-1}\mathrm{d}w)\\ & =n\mathrm{Res}(f(z{)}^{-m}{z}^{-n-1}\mathrm{d}z)+m\mathrm{Res}(g(w{)}^{-n}{w}^{-m-1}\mathrm{d}w)\\ & =n[z^n]f(z{)}^{-m}+m[w^m]g(w{)}^{-n},\end{array}$$这里用到了形式留数在换元下的不变性.

$\square$

2推论

推论 2.1 (Lagrange–Bürmann 公式). 记号承定理 1.1, 并设 $h(z)$ 是形式 Laurent 级数. 则$$[w^m]h(g(w))=\frac{1}{m}[z^{m-1}](h^{\prime }(z)\varphi (z{)}^m).$$

证明. 由于命题关于 $h$ 线性, 只需对 $h(z)=z^{-n}$, $n\in \mathbb{Z}$ 证明, 而这就是定理 1.1.

$\square$

3相关概念

•	反函数定理
•	形式留数

术语翻译

Lagrange 反函数公式 • 英文 Lagrange inversion formula