缩积空间

带点拓扑空间 $(X,x_0)$ 与 $(Y,y_0)$ 的缩积空间 $X\wedge Y$ 一个新的带点拓扑空间, 是在积空间 $X\times Y$ 中, 将 $\{x_0\}\times Y$ 与 $X\times \{y_0\}$ 都缩成一个点, 而得到的商空间, 这里该点视为新的基点. 在下图中, 被缩成点的部分用粗线标出.

缩积也可以对任意一族带点拓扑空间定义.

1定义

定义 1.1 (缩积空间). 设 $(X,x_0)$ 与 $(Y,y_0)$ 是带点拓扑空间. 则其缩积空间, 简称缩积, 定义为商空间$$X\wedge Y=(X\times Y)/((\{x_0\}\times Y)\cup (X\times \{y_0\})).$$这里, 被缩成点的部分视为 $X\wedge Y$ 的基点, 从而 $X\wedge Y$ 也是带点拓扑空间.

更一般地, 设 $I$ 是非空集合, $(X_i,x_i{)}_{i\in I}$ 是一族带点拓扑空间. 则其缩积定义为商空间$$\underset{i\in I}{\bigwedge }{X}_i=\left(\prod _{i\in I}{X}_i\right)/(\bigcup _{i\in I}{p}_i^{-1}(x_i)),$$这里 $p_i:{\prod }_{j\in I}{X}_j\to X_i$ 是投影. 在缩积中, 被缩成点的部分视为其基点, 从而该缩积也是带点拓扑空间.

我们约定, $0$ 个空间的缩积是双点空间 $S^0$.

2例子

•	单点空间与任何空间 $X$ 的缩积是单点空间. 双点空间 $S^0$ 与任何空间 $X$ 的缩积是 $X$ 自身.

•	球面 $S^n$ 之间的缩积满足 $S^n\wedge S^m\simeq S^{n+m}$. 特别地, $S^n$ 是 $S^1$ 与自身的 $n$ 重缩积.

术语翻译

缩积 • 英文 smash product • 德文 Smash-Produkt (n) • 法文 smash-produit (m)