分布 (泛函分析)

关于其它含义, 请参见 “分布”.

分布 (也称为 Schwartz 分布或广义函数) 是函数的推广. 直观地说, 它允许函数取无穷的值, 但需要指定函数在这些无穷值处的积分.

例如, $\mathbb{R}$ 上的 $\delta$ 函数是最有名的分布. 直观地说, 我们有$$\delta (x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\ne 0,\\ \infty ,& x=0,\end{array}$$并且 $\delta$ 函数在 $0$ 附近的积分指定为 $1$.

在分布的意义下, 任何函数都可以求任意阶导数. 借助这一类良好的性质, 分布在偏微分方程的理论中有关键的应用. 例如, 在初值问题中, 以 $\delta$ 函数为初值的解被称为基本解, 而基本解可以用来构造一般问题的解.

1定义

定义 1.1 (测试函数). 设 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集. 则 $U$ 上测试函数的空间是 $U$ 上所有鼓包函数, 即实值紧支、光滑函数, 构成的空间$$\mathcal{D}(U)=C_{\mathrm{c}}^{\infty }(U).$$它作为拓扑向量空间, 带有由以下一族半范数诱导的拓扑: $$|f{|}_{k,K}=\underset{x\in K,|\alpha |\le k}{\sup }|{\partial }^{\alpha }f(x)|,$$其中 $k$ 取遍所有自然数, $K\subset U$ 取遍所有紧集, $\alpha$ 表示多重指标.

在定义 1.1 中, 如果 $f:U\to \mathbb{R}$ 是一个连续函数 (或更一般地, 局部可积函数), 那么 $f$ 可以与测试函数相乘并积分, 这给出了一个线性泛函$$\begin{array}{rl}\mathcal{D}(U)& \to \mathbb{R},\\ \phi & \mapsto {\int }_{U}f(x)\phi (x)dx.\end{array}$$我们将分布定义为这样的线性泛函.

定义 1.2 (分布). 设 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集. 则 $U$ 上的分布是一个连续线性泛函$$\mathcal{D}(U)\to \mathbb{R},$$其中 $\mathcal{D}(U)$ 是测试函数的空间 (定义 1.1). 换言之, 分布的空间是 $\mathcal{D}(U)$ 的连续线性对偶.

定义 1.3 (流形上的分布). (...)

2运算

求导

(...)

拉回

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乘积

(...)

3性质

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4相关概念

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术语翻译

分布 • 英文 distribution • 德文 Distribution (f) • 法文 distribution (f)