单纯集

单纯集是由单形粘起来得到的图形. 单纯集类似于单纯复形, 但单纯集的单形带有顶点的排序.

单纯集是代数拓扑同伦论中的重要工具, 可以用作 -群胚-范畴的模型.

1定义

定义 1.1 (范畴 ). 单形范畴是如下定义的范畴 :

其对象为所有形如 的集合, 其中 .

态射集 由所有从 的保序映射 (即保持 关系的映射) 构成.

范畴 也可以看成带有顶点排序的标准单形构成的范畴, 其态射为单形之间将顶点映到顶点的线性映射, 并要求保持顶点的排序.

在范畴 中, 有两类特殊的态射:

面映射定义为跳过 的元素 , 在其余元素上是保序双射.

退化映射定义为将 的元素 都映到 的元素 , 在其余元素上是保序双射.

面映射和退化映射构成了 中 (不交换的) 图表不难验证, 中所有态射都能写成一系列面映射和退化映射的复合.

定义 1.2 (单纯集). 单纯集是从 函子, 即从 反变函子, 也即 上的预层. 单纯集的范畴记为

是单纯集. 记称此集合为 维单形的集合. 中态射 诱导了映射分别称为 面映射退化映射.

2例子

拓扑空间, 令其中 表示拓扑中的标准 维单形. 这就给出了单纯集 , 称为 奇异单纯集. 它用于定义奇异同调奇异上同调.

单纯集 就是标准 维单形 (作为单纯复形) 对应的单纯集, 也即由 表出的预层. 它的 维单形对应于保序映射 , 这里 视为其顶点的标号集. 由 Yoneda 引理, 对任何单纯集 , 有

中去掉其内部, 就得到了其边界 . 其 维单形对应于不满的保序映射 .

单纯集 定义为商单纯集 , 这里的商可以逐个维数来定义.

3性质

4相关概念

术语翻译

单纯集英文 simplicial set德文 simpliziale Menge (f)法文 ensemble simplicial (m)拉丁文 copia simplicialis (f)古希腊文 ἀπλοϊκὸν σύνολον (n)