Nisnevich 覆盖

在代数几何中, Nisnevich 覆盖是满足额外条件的平展覆盖. 直观而言, 平展态射类似于微分几何中的局部微分同胚; 看起来像覆叠映射的态射都构成平展覆盖. 但非平凡的覆叠不构成 Nisnevich 覆盖. 例如, 当基域特征不是 $2$ 时, 态射$$\begin{array}{rl}f:{\mathbb{A}}^1\setminus \{0\}& ⟶{\mathbb{A}}^1\setminus \{0\},\\ x& ⟼x^2\end{array}$$是平展覆盖, 但不是 Nisnevich 覆盖, 因为它是非平凡的二重覆叠; 但再加上自然含入 $j:{\mathbb{A}}^1\setminus \{0,1\}\hookrightarrow {\mathbb{A}}^1\setminus \{0\}$ 之后, 则态射族 $(f,j)$ 是 Nisnevich 覆盖. 这大致是因为 $1$ 可以开平方根, 从而我们认为 $f$ 在 $1$ 处比较平凡. 又例如, 态射$$\begin{array}{rl}f:\{(x,y)\in {\mathbb{A}}^2\mid xy=0\}& ⟶{\mathbb{P}}^1/\{0,\infty \},\\ (x,0)& ⟼x,\\ (0,y)& ⟼1/y\end{array}$$是 Nisnevich 覆盖, 这里右边是将射影直线中两点粘起来所得的结点曲线. 虽然该态射也是某种二重覆叠, 但它限制在定义域的各不可约分支上都是一重覆叠, 因此是允许的.

Nisnevich 覆盖定义的拓扑称为 Nisnevich 拓扑, 这是概形范畴上介于 Zariski 拓扑与平展拓扑之间的一种 Grothendieck 拓扑.

1定义

定义 1.1. 称一族概形态射 $(f_i:U_i\to X{)}_{i\in I}$ 为 Nisnevich 覆盖, 若其满足以下条件:

•	诸 $f_i$ 是平展态射.

•	对每个点 $x\in X$, 存在 $i\in I$ 及 $u\in U_i$, 使得 $f_i(u)=x$, 且 $f_i$ 诱导 $u$、$x$ 处剩余域的同构.

2例子

•	Zariski 覆盖是 Nisnevich 覆盖.

•

考虑域 $k$ 上的概形 ${\mathbb{A}}^1$ 及态射$$\begin{array}{rl}f:({\mathbb{A}}^1\setminus \{a\})\bigsqcup ({\mathbb{A}}^1\setminus \{0\})& ⟶{\mathbb{A}}^1,\\ {\mathbb{A}}^1\setminus \{a\}\text{ 中}x& ⟼x,\\ {\mathbb{A}}^1\setminus \{0\}\text{ 中}y& ⟼y^m,\end{array}$$其中 $a\in k\setminus \{0\}$, 且 $\mathrm{char}k\nmid m$. 则 $f$ 是 Nisnevich 覆盖当且仅当 $y^m=a$ 在 $k$ 中有解.

3性质

定义 1.1 易于检查而不易操作, 但对拟紧拟分离概形, 我们可以用形状比较简单的覆盖加细它.

定理 3.1. 设 $X$ 是拟紧拟分离概形, $(f_i:U_i\to X{)}_{i\in I}$ 是一族平展态射. 则以下几条等价:

1.	$(f_i:U_i\to X{)}_{i\in I}$ 是 Nisnevich 覆盖.
2.	存在 $X$ 的有限表现闭子概形链$$\varnothing =Z_0\subset Z_1\subset \cdots \subset Z_n=X$$满足对每个 $j=1,\dots ,n$, 都存在 $i\in I$ 使得 $f_i:U_i\to X$ 在 $Y_j=Z_j\setminus Z_{j-1}$ 上有截面, 即存在 $s_j:Y_j\to (U_i{)}_{Y_j}$, 使得 $(f_i{)}_{Y_j}\circ s_j={\mathrm{id}}_{Y_j}$.
3.	存在 $X$ 的有限表现闭子概形链$$\varnothing =Z_0\subset Z_1\subset \cdots \subset Z_n=X$$以及相应的一族有限表现平展态射 $(g_j:V_j\to X{)}_{j=1}^n$ 加细 $(f_i:U_i\to X{)}_{i\in I}$, 使得 $g_j$ 在 $Y_j=Z_j\setminus Z_{j-1}$ 上是同构.

证明. 3 推 2 推 1 为显然. 下证 1 推 3. 把诸 $U_i$ 换成其仿射开覆盖, 可设它们拟紧、分离, 于是诸 $f_i$ 拟紧、分离, 特别地, 它们有限表现. 考虑使 3 在 $Y$ 上不成立的闭子概形 $Y\subseteq X$ 的集合, 我们希望证明它是空集. 先证其中每个链都有下界: 对一链闭子概形 $(Y_{\alpha }{)}_{\alpha \in \mathrm{A}}$, 设 3 在 $Y={\bigcap }_{\alpha \in \mathrm{A}}{Y}_{\alpha }$ 上成立; 则由于 3 涉及的态射都有限表现, 由过渡到极限知 3 对某个 $Y_{\alpha }$ 成立. 所以由 Zorn 引理, 如 3 不成立, 则存在极小的使之不成立的闭子概形 $Y\subseteq X$. 把 $X$ 换成 $Y$, 可设 3 对 $X$ 不成立, 但对 $X$ 的真闭子概形都成立. 显然 $X\ne \varnothing$. 在其中取一般点 $x$, 即没有非平凡一般化的点. 由极小素理想的存在性这可以取到. 于是 ${\mathcal{O}}_{X,x}^{\mathrm{red}}=k(x)$. 由 1, 对某个 $i\in I$ 存在态射 $\mathrm{Spec}(k(x))\to U_i$ 提升自然态射 $\mathrm{Spec}(k(x))\to X$. 由平展态射的幂零提升性质, 这给出态射 $\mathrm{Spec}({\mathcal{O}}_{X,x})\to U_i$ 提升自然态射 $\mathrm{Spec}({\mathcal{O}}_{X,x})\to X$. 于是由过渡到极限, 存在 $x$ 的拟紧开邻域 $V\subseteq X$ 以及 $f_i$ 在 $V$ 上的截面 $s:V\to U_i$. 取有限表现闭子概形 $Z\subset X$ 使得 $V=X\setminus Z$, 则 3 在 $Z$ 上成立. 取 $Z$ 的有限表现闭子概形链$$\varnothing =Z_0\subset Z_1\subset \cdots \subset Z_n=Z$$以及相应的一族有限表现平展态射 $(h_j:W_j\to Z{)}_{j=1}^n$ 加细 $((f_i{)}_Z:(U_i{)}_Z\to Z{)}_{i\in I}$, 使得 $h_j$ 在 $Y_j=Z_j\setminus Z_{j-1}$ 上是同构. 考虑加细给出的映射 $s_j:W_j\to (U_{i_j}{)}_Z$. 它是有限表现平展态射, 像是拟紧开集, 所以存在有限表现闭子概形 $T_j\subset (U_{i_j}{)}_Z$ 使得 $s_j(W_j)=(U_{i_j}{)}_Z\setminus T_j$. 令 $V_j=U_{i_j}\setminus T_j$, $g_j:V_j\to X$ 为自然态射, 则它在 $X$ 上有限表现平展, 且在 $Y_j$ 上是同构. 考虑 $X$ 的有限表现闭子概形链$$\varnothing =Z_0\subset Z_1\subset \cdots \subset Z_n\subset Z_{n+1}=X$$以及有限表现平展态射族 $(g_j:V_j\to X{)}_{j=1}^{n+1}$, 其中 $V_{n+1}=V$, $g_{n+1}=f_i\circ s$. 容易发现这满足 3, 与反证法假设矛盾.

$\square$

4相关概念

•	Nisnevich 景
•	Hensel 环

术语翻译

Nisnevich 覆盖 • 英文 Nisnevich cover • 法文 recouvrement de Nisnevich (m)