Ax–Grothendieck 定理

Ax–Grothendieck 定理是代数几何中的奇妙结果, 它的证明分别展示了 Grothendieck 概形语言的威力, 以及数理逻辑中模型论的威力. 它大体上说的是, 代数闭域上代数簇到自身的单射是满射.

1定理与证明

Ax–Grothendieck 定理通常这样陈述:

定理 1.1. 设 $k$ 为代数闭域, $X$ 为 $k$ 上代数簇, 态射 $f:X\to X$ 在点上为单射, 即诱导的点集映射 $f(k):X(k)\to X(k)$ 为单射. 则 $f$ 为满射.

但在 Grothendieck 的证明中需推广如下:

定理 1.2. 设 $S$ 是概形, $X$ 是 $S$ 上有限表现概形. 如 $S$-态射 $f:X\to X$ 泛单, 则它是满射.

证明. 这里只涉及局部性质, 故不妨设 $S$ 仿射. 由过渡到极限, 可设 $S$ 为 $\mathbb{Z}$ 上有限型. 于是只需对 $\mathbb{Z}$ 上有限型概形 $X$ 以及泛单态射 $f:X\to X$ 证明 $f$ 是满射. 由 Chevalley 可构造性定理以及 $X$ 为 Jacobson 概形, 只需证 $f$ 在闭点上是满射. 由于 $X$ 为 $\mathbb{Z}$ 上有限型, 其闭点剩余域都是有限域, 故只需对每个有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 证明点集映射 $f({\mathbb{F}}_q):X({\mathbb{F}}_q)\to X({\mathbb{F}}_q)$ 是满射. 由于 $f$ 泛单, $f({\mathbb{F}}_q)$ 为单射. 由于 $X$ 为 $\mathbb{Z}$ 上有限型, $X({\mathbb{F}}_q)$ 为有限集. 故 $f({\mathbb{F}}_q)$ 为满射. 命题得证.

$\square$

注 1.3. 由于满射说的是底空间映射满, 它可以逐纤维验证. 所以由于域上有限型概形都有限表现, 定理 1.2 中的有限表现条件可减弱为有限型.

此定理还有个变体:

定理 1.4. 设 $S$ 是概形, $X$ 是 $S$ 上有限表现概形. 如 $S$-态射 $f:X\to X$ 是单态射, 则它是同构.

证明. $f$ 是单态射当且仅当其对角态射 ${\Delta }_f$ 是同构. 这样此性质关于 $S$ 局部, 且能过渡到极限, 故可设 $S$ 为 $\mathbb{Z}$ 上有限型. 于是只需对 $\mathbb{Z}$ 上有限型概形 $X$ 以及单态射 $f:X\to X$ 证明 $f$ 是同构. 对有限交换环 $R$, 由 $X$ 为 $\mathbb{Z}$ 上有限型, 知点集 $X(R)$ 为有限集. 条件说明 $f(R):X(R)\to X(R)$ 是单射, 所以它是双射. 注意 $\mathbb{Z}$ 上有限型概形的态射, 只要对所有有限环取点都是双射, 就是同构. 命题得证.

$\square$

注 1.5. 定理 1.2 的条件并不能推出定理 1.4 的结论, 因为有 Frobenius 态射.

Ax 使用模型论给出了另一个证明, 首先回顾如下模型论中的结论

命题 1.6. 对在环的一阶语言中的语句 $\varphi$, 以下二者等价:

•	$\varphi$ 在所有代数闭域中成立.
•	对所有素数 $p$, $\varphi$ 在某个特征 $p$ 的代数闭域中成立.

证明. 参见主条目 Lefschetz 原理.

$\square$

回到定理的证明:

证明. 同样不妨设 $X$ 是仿射簇, 并嵌入仿射空间中. 注意到这个定理可以写为环的一阶语言中的语句 (使用坐标写出定理的条件). 由上述定理, 只需证明此定理在所有有限域的代数闭包 $\overline{{\mathbb{F}}_p}$ 中成立. 此时如定理不成立, 存在映射 $f$ 和点 $x$ 使得 $x$ 不落在 $f$ 的像中, 可找到有限域使得 $f$ 和 $x$ 在此有限域中有定义, 则对某个有限域相应结论不成立. 然而此时相应簇由有限个点构成, 单射必为满射, 矛盾.

$\square$

2相关概念

•	泛单态射
•	满射 (代数几何)
•	过渡到极限
•	Lefschetz 原理

术语翻译

Ax–Grothendieck 定理 • 英文 Ax–Grothendieck theorem • 法文 théorème d’Ax–Grothendieck