Lefschetz 原理

Lefschetz 原理是说, 对在环的一阶语言中的语句 (即可表示为只涉及加法、乘法等运算的语句), 如果对某个代数闭域正确, 就对所有相同特征的代数闭域正确. 并且如果它对特征充分大的特征非 $0$ 代数闭域正确等价于它对特征 $0$ 代数闭域正确.

1定理陈述

定理 1.1 (Lefschetz 原理).

•	固定特征的代数闭域理论是完备的, 即一个在环的一阶语言中语句如果对某个代数闭域正确, 就对所有相同特征的代数闭域正确.
•	对环的一阶语言中语句 $\varphi$, 以下三者等价: ∘ $\varphi$ 对所有特征 $0$ 的代数闭域正确. ∘ $\varphi$ 对所有特征充分大的代数闭域正确. ∘ 存在任意大的素数 $p$, 使 $\varphi$ 对所有以此为特征的代数闭域正确.

2证明

证明. 注意到具有相同的势的相同特征的代数闭域同构, 由 Łoś–Vaught 判别法, 第一个命题得证. 对第二个命题, 记 $\mathcal{T}$ 为代数闭域的理论, 则特征 $p$ 的代数闭域的理论是 ${\mathcal{T}}_p=\mathcal{T}\cup \{\forall x(px=0)\}$, 特征 $0$ 的代数闭域的理论是 ${\mathcal{T}}_0=\mathcal{T}\cup {\bigcup }_p\{\neg \exists x(px=0)\}$. 由紧性定理, 对 ${\mathcal{T}}_0⊣\varphi$, 存在素数 $q$, $\mathcal{T}{\bigcup }_{p\le q}\{\neg \exists x(px=0)\}⊣\varphi$. 即在特征 $0$ 的代数闭域中正确可以推出在特征充分大的代数闭域中正确. 另一方面, 由完备性, 如 $\varphi$ 在某个特征 $0$ 的代数闭域中不正确, 则 ${\mathcal{T}}_0⊣\neg \varphi$. 同样由紧性定理, $\varphi$ 对所有特征充分大的代数闭域都不正确.

$\square$

3应用

•	Ax–Grothendieck 定理

4相关概念

术语翻译

Lefschetz 原理 • 英文 Lefschetz’s principle • 法文 principe de Lefschetz