紧性定理

在数理逻辑中, 紧性定理说明了在一阶语言中, 公式集有模型等价于它所有有限子集有模型.

其名称来源于拓扑里面的紧性. 因为在命题逻辑的层面, 此性质等价于这个公式集的 Stone 空间是紧空间. 而证明其是紧空间就是直接利用 Tikhonov 定理.

1定理与证明

定理 1.1. 在一阶语言 $\mathcal{L}$ 中, 公式集 $\Phi$ 有模型等价于对所有有限子集 ${\Phi }_0\subset \Phi$, ${\Phi }_0$ 有模型.

证明. 利用 Gödel 完备性定理, $\Phi$ 有模型等价于 $\Phi$ 相容, 等价于任意有限子集 ${\Phi }_0$ 相容 (因为演绎是一段有限树), 等价于任意 ${\Phi }_0$ 有模型.

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另外还有直接证明紧性定理再证明完备性公理和使用超积构造证明等证明方式.

2应用

推论 2.1. 存在 Peano 公理的非标准模型.

证明. 考虑带一个常项符号 $c$ 的一阶语言 $\mathcal{L}\ast$, 考虑无限个语句 $c>n,n\in \omega$ 的集合 $A$, 其中 $\omega$ 为标准自然数. 其任意有限集都是可满足的, 因此, 根据紧性定理, $A$ 本身可满足, 也就是说, 它有一个模型.

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由

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术语翻译

紧性定理 • 英文 compactness theorem