命题逻辑

在逻辑学中, 命题逻辑可以看作是一种 “零阶逻辑” (相比于一阶逻辑和高阶逻辑), 也就是不含任何变量绑定的逻辑.

1推导规则

下文中, 相继式记作 $Γ ⊢ φ$ , 其中 $Γ$ 是命题的集合, 代表语境, $φ$ 、 $χ$ 等符号表示单个命题. 为了可读性, 将类似 $Γ \cup {φ}$ 等拼接语境的集合操作全部用 $Γ, φ$ 这样的用逗号分隔的写法表示.

•	结构性规则: $φ ⊢ φ \frac{Γ ⊢ χ}{Γ , φ ⊢ χ}$

•	无矛盾律: $\frac{Γ ⊢ φ Γ ⊢ \neg φ}{Γ ⊢ ⊥} \frac{Γ ⊢ ⊥}{Γ ⊢ χ}$ 后者又叫爆炸律.

•	排中律: $\frac{Γ ⊢ \neg ( \neg χ )}{Γ ⊢ χ}$

•	否定规则: $\frac{Γ , φ ⊢ ⊥}{Γ ⊢ \neg φ} \frac{Γ ⊢ \neg φ}{Γ , φ ⊢ ⊥}$

•	与规则: $\frac{Γ ⊢ χ _{1} Γ ⊢ χ _{2}}{Γ ⊢ χ _{1} \land χ _{2}} \frac{Γ ⊢ χ _{1} \land χ _{2}}{Γ ⊢ χ _{1}} \frac{Γ ⊢ χ _{1} \land χ _{2}}{Γ ⊢ χ _{2}}$

•	或规则: $\frac{Γ ⊢ χ _{1}}{Γ ⊢ χ _{1} \lor χ _{2}} \frac{Γ ⊢ χ _{2}}{Γ ⊢ χ _{1} \lor χ _{2}}$ $\frac{Γ ⊢ χ _{1} \lor χ _{2} Γ , χ _{1} ⊢ φ Γ , χ _{2} ⊢ φ}{Γ ⊢ φ}$

•	演绎定理: $\frac{Γ , χ ⊢ φ}{Γ ⊢ χ \to φ}$

•	肯定前件: $\frac{Γ ⊢ χ \to φ Γ ⊢ χ}{Γ ⊢ φ}$

由经典命题逻辑去除爆炸律 (无矛盾律右项) 和排中律得到.

在极小命题逻辑中可由排中律推出爆炸律.

由极小命题逻辑添加爆炸律得到.

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•	相继式演算、自然演绎

术语翻译

命题逻辑 • 英文 propositional logic

爆炸律 • 英文 principle of explosion • 拉丁文 ex falso quodlibet