用户: Jin1/把代数对象写成范畴

代数结构与范畴的对应.

1例子

群

一个群是只有一个对象的范畴, 满足其中的态射均为同构.

给定群 $G,H$, 从 $G$ 到 $H$ 的群同态是 $G$ 到 $H$ 的函子.

群是只有一个对象的群胚.

给定一个群 $G$, $G$ 的一个群作用是 $G$ 出发的函子, 群作用的 $G$-不变映射是这些函子间的自然变换. 例如, 群在集合上的作用是 $G$ 到 $\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$ 的一个函子, $G$ 的一个群表示是 $G$ 到 ${\mathsf{V}\mathsf{e}\mathsf{c}\mathsf{t}}_k$ 的一个函子.

给定一个函子 $F:G\to \mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$, 将 $G$ 看做 “指标集”, 这个函子的极限是群作用的不动点集.

环

一个环是只有一个对象的 $\mathsf{A}\mathsf{b}$-充实范畴.

给定一个环 $R$, 一个 $R$ 模是 $R$ 到 $\mathsf{A}\mathsf{b}$ 的 $\mathsf{A}\mathsf{b}$-充实函子, $R$ 模同态是这些函子间的自然变换.

环的局部化对应着范畴的局部化.

环是只有一个对象的环胚.

代数

给定一个域 $k$, 一个 $k$-代数是只有一个对象的 ${\mathsf{V}\mathsf{e}\mathsf{c}\mathsf{t}}_k$-充实范畴.

一般地, 给定一个环 $R$, 一个 $R$-代数是只有一个对象的 ${\mathsf{M}\mathsf{o}\mathsf{d}}_R$-充实范畴.

2参考文献

G.M. Kelly, Basic Concepts of Enriched Category Theory.

N. Popescu, Abelian Categories with Applications to Rings and Modules, London - New York 1973