射流

射流微分几何中的概念, 直观地说, 流形上函数在一点处的第 射流就是在此函数的前 Taylor 展开. 这个概念也可以推广到 “扭曲” 的函数上, 即浸没的局部截面.

许多微分几何的性质, 例如浸入、浸没等都可以使用射流的语言表述.

1定义

作为直观, 我们先定义函数的射流.

定义 1.1 (函数的射流).光滑流形, 是其中一点, 固定自然数 , 定义 上的所有光滑函数 上的等价关系为: 两个函数等价当且仅当它在 处的所有前 偏导数相等, 则光滑函数 处的 射流为在此关系下的等价类, 记作 . 在 点处所有射流构成的集合称为射流空间.

我们也可以谈论所谓 “扭曲的函数”, 即纤维丛 (更一般地, 浸没) 的局部截面的射流. 首先我们回顾如下事实:

命题 1.2.浸没 (如纤维丛, 向量丛), 取 , , 则存在 , 附近的局部坐标 , , 使得 的局部表达式为 . 由此 的一个局部截面可写为 .

定义 1.3 (局部截面的射流).浸没 , 固定自然数 , 定义 附近局部截面的等价关系为: 两个局部截面等价当且仅当它们在取定局部坐标后相应的函数在 处的前 阶偏导数等价. 则局部截面 阶射流为它在此等价关系下的等价类. 所有射流构成的集合称为射流空间.

可以证明, 此等价关系与局部坐标的选取无关.

即得到一开始定义的函数情形.

正如切丛将所有点的切空间组合在一起成为一个大的流形, 也可以将所有点的射流组合在一起, 称为射流形.

定义 1.4 (射流形).浸没 , 射流形 (也称射流丛) 为集合 可赋予流形结构, 其局部坐标由直到第 阶导数的信息给出. 即

由此, 任何局部截面 自然给出了局部截面 .

还可以发现, 如果 向量丛, 也可以赋予一个向量丛结构.

2性质

对于函数 (更一般地, 向量丛), 射流可以用代数的语言来描述. 具体地说有如下两个命题:

命题 2.1. 对光滑流形 , 记它上面所有光滑函数构成的空间为 ; 所有在 点处取值为 的函数构成的空间为 (它是 极大理想), 则对于函数, 在点 处的 阶射流空间同构于 .

命题 2.2. 对光滑流形 上的向量丛 , 记它的所有截面构成的空间为 (它是环 上的模), 则对于此丛, 射流空间.

不同阶的射流空间 (以及射流形) 间有自然的投影映射:

命题 2.3.浸没, 存在投影映射 , 满足交换图

此时投影 () 是仿射丛, 从而 也是浸没.

3例子

对浸没 , 点处的零阶射流空间为此点的逆像, 零阶射流形即为 .

对于函数, 一阶射流形满足向量丛间的正合列: 其中 余切丛, 是取值为 的平凡丛. 对于一般的向量丛 , 则有正合列

对平凡丛 , 其一阶射流丛为 上的向量丛 .

4相关概念

Taylor 定理

浸没

余切丛

偏微分关系

术语翻译

射流英文 jet法文 jet (m)

射流形英文 jet manifold法文 variété des jets

射流丛英文 jet bundle法文 fibré des jets