Schneider–Lang 定理

Schneider–Lang 定理是超越数论中关于亚纯函数有理点个数的定理. 它由 Theodor Schneider 于 1949 年证明, 被 Serge Lang 于 1966 年加强. 该定理可以推出与指数函数、模函数相关的若干超越性结论.

1陈述

定理 1.1. 存在常数 $C>0$ 使得以下命题成立:

设 $K$ 为数域, $f_1,\dots ,f_N$ 为 $\mathbb{C}$ 上亚纯函数, 阶不超过 $\rho$, 满足 $tr.degK(f_1,\dots ,f_N)/K>1$, 且 $f_1^{\prime },\dots ,f_N^{\prime }$ 都可写成 $f_1,\dots ,f_N$ 的 $K$ 系数多项式, 即环 $K[f_1,\dots ,f_N]$ 被 $\frac{d}{dz}$ 保持. 设 $w_1,\dots ,w_m\in \mathbb{C}$ 不是 $f_1,\dots ,f_N$ 的极点, 且 $\{f_i(w_j){\}}_{1\le i\le N,1\le j\le m}\subseteq K$. 则 $m\le C\rho [K:\mathbb{Q}]$.

注 1.2. 可以做到 $C=2$, 但意义不大.

2证明

证明. 首先观察数个引理. 最为标准的是:

引理 2.1 (Siegel). 考察整系数 $a_{ij}$ 的线性方程组: $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n=0,\\ ⋮\\ a_{r1}{x}_1+\cdots +a_{rn}{x}_n=0,\end{array}\end{array}$$其中 $n>r$. 设一致的界 $|a_{ij}|\le A$, 那么存在不全零的整数解 $(x_1,\dots ,x_n)$ 符合一致的控制$$|x_j|\le \lceil (nA{)}^{r/(n-r)}\rceil .$$

证明. 方程的解属于对应的线性映射 $L:{\mathbb{Z}}^n\to {\mathbb{Z}}^r$ 的核. 考虑 $[-B,B{]}^n$ 的像, 只要 $(2B{)}^n\ge (2nBA{)}^r$ 就有 $(2B+1{)}^n>(2nBA+1{)}^r$, 由抽屉原理, 此时必然有两个不同的点具有相同的像, 从而它们的差符合条件, 取 $2B=\lceil (nA{)}^{r/(n-r)}\rceil$.

$\square$

现在设 $K$ 是 $\mathbb{Q}$ 的有限扩张, $d:=[K:\mathbb{Q}]$. 记代数整数环 ${\mathcal{O}}_K$, 熟知它是 $\mathbb{Z}$ 的 $d$ 秩自由模. 下文中, 对一个 $K$ 中元素, 它的大小指的是它在 $K\subset \mathbb{C}$ 的全体嵌入下, 绝对值的最大值; 而一族元素的大小指其中最大者的大小.

我们给出 Siegel 引理的代数数域版本:

引理 2.2. 延续先前记号, 考虑线性方程组: $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{c}{\alpha }_{11}{x}_1+\cdots +{\alpha }_{1n}{x}_n=0,\\ ⋮\\ {\alpha }_{r1}{x}_1+\cdots +{\alpha }_{rn}{x}_n=0,\end{array}\end{array}$$此时 ${\alpha }_{ij}\in {\mathcal{O}}_K$, $n>r$ 且全体 ${\alpha }_{ij}$ 的大小被 $A$ 控制, 则存在 ${\mathcal{O}}_K$ 中的非平凡解 $(x_1,\cdots ,x_n)$, 诸 $x_i$ 大小被 $C_1(C_{2}nA{)}^{r/(n-r)}$ 控制, 其中 $C_1,C_2$ 是只与 $K$ 有关的常数.

证明. 设 ${\omega }_1,\cdots ,{\omega }_d$ 是 ${\mathcal{O}}_K$ 在 $\mathbb{Z}$ 上一组基. 将 ${\mathcal{O}}_K$ 中的元素写成线性组合后, 原方程成为整系数的 $dn$ 个变量的 $dr$ 条方程. 注意到大小符合绝对值不等式, 简单的控制结合先前引理即可得证.

$\square$

对于 $\mathbb{C}[T_1,\cdots ,T_n]$ 中的多项式 $P$, 若一个 $\mathbb{R}[T_1,\cdots ,T_n]$ 的多项式 $Q$ 在每个单项 $T_1^{{\alpha }_1}\cdots T_n^{{\alpha }_n}$ 的系数都不小于 $P$ 对应系数的绝对值, 则称 $Q$ 控制 $P$. 另外对于代数数 $\alpha \in K$ 的一个分母, 我们指一个正整数 $b$, 使得 $b\alpha \in {\mathcal{O}}_K$.

引理 2.3. 延续先前记号, $f_1,\cdots ,f_N$ 在一个点 $w\in \mathbb{C}$ 的邻域中全纯, 且 $K[f_1,\cdots ,f_N]$ 被 $D=\frac{d}{dz}$ 保持, 若诸 $f_i(w)\in K$, 则存在只与 $K,w,f_i$ 有关的常数 $C_1$ 使: 对次数不超过 $r$ 的 $P\in K[T_1,\cdots ,T_N]$, 若 $f=P(f_1,\cdots ,f_N)$, 则对一切正整数 $k$, $D^{k}f(w)$ 的大小不超过 $P$ 系数大小的 $r^{k}k!C_1^{k+r}$ 倍. 进一步, $D^{k}f(w)$ 的分母不超过 $P$ 的系数公分母的 $C_1^{k+r}$ 倍.

证明. 依条件设 $P_i\in K[T_1,\cdots ,T_N]$ 使 $D{f}_i=P_i(f_1,\cdots ,f_N)$, 用 $h$ 记 $P_i$ 们次数的最大值. 于是定义 $K[T_1,\cdots ,T_N]$ 上的求导算子 $\overline{D}$ 使 $\overline{D}{T}_i=P_i$. 这样对一般的 $P\in K[T_1,\cdots ,T_N]$, 我们计算得到$$\overline{D}P(T_1,\cdots ,T_N)=\sum _{i=1}^N(D_{i}P)\cdot P_i.$$其中 $D_i$ 是普通的对 $T_i$ 求偏导, 这样一来 $P$ 被 $P$ 的系数大小乘上 $(1+T_1+\cdots +T_N{)}^r$ 控制, 而 $P_i$ 皆被 $P_i$ 的系数大小乘上 $(1+T_1+\cdots +T_N{)}^h$ 控制, 于是 $\overline{D}P$ 被 $P$ 的系数大小乘上 $C_{2}r(1+T_1+\cdots +T_N{)}^{r+h}$ 控制. 归纳地, ${\overline{D}}^{k}P$ 被 $P$ 的系数大小乘上 $C_3^k{r}^{k}k!(1+T_1+\cdots +T_N{)}^{r+kh}$ 控制. 同样的方法能计算分母对应的界.

$\square$

现在回到原定理. 由题目条件设 $f,g$ 是 $f_1,\cdots ,f_N$ 的两个代数无关的多项式. 待定 $r$, 设$$F:=\sum _{i,j=1}^r{b}_{ij}{f}^i{g}^j.$$其是涉及 $r^2$ 个待定 ${\mathcal{O}}_K$ 中系数的多项式, 现要求 $2m|r$, 设 $n=r^2/2m$. 于是根据 Siegel 引理的代数数版本, 可选择 $b_{ij}$ 不全为 $0$ 使 $D^{k}F(w_v)=0$ 对 $k=0,1,\cdots ,n-1;v=1,\cdots m$ 成立. 通分后这对应了 $mn=r^2/2$ 个方程, 因此可以用 $O(r^{n}n!C_1^{n+r})\le O(n^{2n})$ 控制一个解.

因为 $f,g$ 的代数无关性 $F$ 不恒 $0$, 不妨设 $D^{k}F(w_v)=0$ 对 $k=0,1,\cdots ,s-1;v=1,\cdots ,m$ 但 $\gamma =D^{s}F(w_1)\ne 0$, 其中 $s\ge n$. 于是 $\gamma \in K$, 且分母 $c$ 被 $O(C_1^s)$ 控制. 于是计算 $c\gamma$ 的范数得到不等式 $1\le N_{K/\mathbb{Q}}(c\gamma )\le O(s^{2s}{)}^{d-1}|\gamma |$. 但另外一方面设 $\theta$ 是阶不超 $\rho$ 的整函数, 使得 $\theta f,\theta g$ 整. 于是 $\theta (z{)}^{2r}F$ 整, 进而 $H(z):=\theta (z{)}^{2r}F(z)/{\prod }_{v=1}^m(z-w_v{)}^s$ 整. 而 $H(w_1)$ 仅与 $D^{s}F(w_1)$ 差一个被 $C_4^{s}s!$ 控制的系数.

现在根据最大模原理, 取半径 $R=s^{1/(2\rho )}$ 得到对充分大的 $s$ 有$$\frac{C_6}{s^{2s(d-1)}}\le |\gamma |\le \frac{s^s{C}_5^s}{s^{ms/2\rho }}.$$于是令 $r\to +\infty$, 得 $s\to +\infty$ 于是 $ms/2\rho \le 2sd$, 原命题对 $C=4$ 得证.

$\square$

3推论

推论 3.1 (Hermite–Lindemann). 如果 $\alpha \in \mathbb{C}$ 是非零代数数, 那么 $\exp (\alpha )$ 就是超越数. 特别地, $e$ 和 $\pi$ 都是超越数.

证明. 如果 $\alpha$ 与 $\exp (\alpha )$ 都是代数数, 设数域 $K$ 包含它们. 定理中的函数取为 $z$ 与 $\exp (z)$, 显然满足条件, 故定理表明只有有限个复数 $w$ 满足 $w$ 与 $\exp (w)$ 都属于 $K$. 但对任意 $n\in \mathbb{Z}$, $n\alpha ,\exp (n\alpha )\in K$, 这与定理矛盾! 故 $\alpha$ 与 $\exp (\alpha )$ 不能都是代数数.

取 $\alpha =1$ 知 $e$ 是超越数. 取 $\alpha =2\pi i$ 知 $2\pi i$ 是超越数, 从而 $\pi$ 是超越数.

$\square$

推论 3.2 (Gelfond–Schneider). 如果 $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ 是代数数, $\alpha \notin \{0,1\}$, $\beta \notin \mathbb{Q}$, 那么 ${\alpha }^{\beta }$ 的每一个取值都是超越数. 特别地, 如果 $\beta$ 与 $\exp (2\pi i\beta )$ 都是代数数, 那么 $\beta$ 就是有理数.

证明. 反证法, 如 ${\alpha }^{\beta }$ 某个取值是代数数, 设数域 $K$ 包含 $\alpha$, $\beta$ 以及该值. 定理中的函数取为 $\exp (z)$ 与 $\exp (\beta z)$, 显然满足条件. 但对任意 $n\in \mathbb{Z}$, 以上两函数在 $n\log (\alpha )$ 处的值都属于 $K$, 矛盾.

取 $\alpha =-1$ 知如果 $\beta$ 是无理代数数, 那么 $\exp (2\pi i\beta )$ 就是超越数.

$\square$

推论 3.3 (Schneider–Siegel). 以 $\mathbb{H}$ 记上半平面, $j$ 记 $j$ 不变量, 设 $\tau \in \mathbb{H}$. 如果 $\tau$ 与 $j(\tau )$ 都是代数数, 那么 $\tau$ 就是二次代数数.

证明. 由于 $j(\tau )$ 是代数数, 可取适当的 $a\in {\mathbb{C}}^{\times }$, 使得格点 $\mathbb{Z}a+\mathbb{Z}a\tau$ 的 Weierstraß $\wp$ 函数满足的方程$${\wp }^{\prime 2}=4{\wp }^3-g_2\wp -g_3$$中, $g_2$ 与 $g_3$ 都是代数数, 即 $(\wp ,{\wp }^{\prime })$ 的像构成定义在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的椭圆曲线. 此椭圆曲线的挠点坐标自然也在 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上, 即 $\wp (a/2),{\wp }^{\prime }(a/2),\wp (a\tau /2),{\wp }^{\prime }(a\tau /2)\in \overline{\mathbb{Q}}$. 现在在定理中将 $K$ 取为包含 $\tau ,g_2,g_3,\wp (a/2),{\wp }^{\prime }(a/2),\wp (a\tau /2),{\wp }^{\prime }(a\tau /2)$ 的数域, 将函数取为 $\wp (z),{\wp }^{\prime }(z),\wp (\tau z),{\wp }^{\prime }(\tau z)$. 则由于 $\tau$ 代数以及$${\wp }^{\prime \prime }=6{\wp }^2-\frac{1}{2}{g}_2$$不难发现, 只要 $\wp (z)$ 与 $\wp (\tau z)$ 代数无关, 这样选取就满足定理条件. 然而对所有 $n\in \mathbb{Z}$, 这些函数在 $\left(n+\frac{1}{2}\right)a$ 的取值都属于 $K$, 与定理相违! 故定理条件不能满足, $\wp (z)$ 与 $\wp (\tau z)$ 代数相关. 现如 $\tau$ 不是二次代数数, 则 $\wp (z)$ 与 $\wp (\tau z)$ 的周期不可公度, 就会存在一列复数 $w_n$, $\wp (z)$ 在其上取值相同而 $\wp (\tau z)$ 在其上取无穷多个不同值, 二者就不能代数相关. 故 $\tau$ 是二次代数数.

$\square$

4推广

Bombieri–Lang 定理将其推广到了多变量亚纯函数情形. 对于实解析或更一般的 o-极小可定义函数, 虽不能得到有理点只有有限个, 但有 Pila–Wilkie 定理说明它不是很多.

5相关概念

•	超越数论
•	Lindemann–Weierstraß 定理
•	Bombieri–Lang 定理
•	Pila–Wilkie 定理

术语翻译

Schneider–Lang 定理 • 英文 Schneider–Lang theorem • 德文 Satz von Schneider–Lang • 法文 théorème de Schneider–Lang