4. 极限与余极限

代数拓扑中的许多构造由万有性质的语言描述, 其中包括极限和余极限两种互相对偶的重要构造. 我们将在本节中简要讨论它们.

设 $\mathcal{I}$ 是小范畴 (即它的对象构成集合), $\mathcal{C}$ 是范畴. 在 1.27 中我们定义了函子范畴 $\mathsf{F}\mathsf{u}\mathsf{n}(\mathcal{I},\mathcal{C})$, 它的对象是 $\mathcal{I}$ 到 $\mathcal{C}$ 的函子, 态射是函子间的自然变换. 函子范畴也记作$${\mathcal{C}}^{\mathcal{I}}:=\mathsf{F}\mathsf{u}\mathsf{n}(\mathcal{I},\mathcal{C}).$$

下面给出的函子会在极限和余极限的定义中出现.

定义 4.1. 对角函子是函子$$\Delta :\mathcal{C}\to \mathsf{F}\mathsf{u}\mathsf{n}(\mathcal{I},\mathcal{C}),$$它把 $\mathcal{C}$ 中对象 $X$ 映至把 $\mathcal{I}$ 中所有对象均映至 $X$, 所有态射均映至恒等态射的函子.

图表

极限

余极限

积

余积

一点并与缩积

完备与余完备

始对象与终对象