3. 覆叠与纤维化

覆叠与提升

定义 3.1. 令 $p:E\to B$ 是 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 中的态射. 态射 $p$ 在开集 $U\subset B$ 上的一个平凡化是指一个 $U$ 上的同胚 $\phi :p^{-1}(U)\to U\times F$, 即要让下图交换如果存在 $B$ 的开覆盖 $\mathcal{U}$ 使 $p$ 在每个开集 $U\in \mathcal{U}$ 上均有平凡化, 就说 $p$ 是局部平凡的. 这样的 $p$ 就叫纤维丛, $F$ 叫做纤维, $B$ 叫做底空间. 只要在上下文中不引起歧义, 我们就将它记为$$F\to E\to B.$$如果我们可以找到整个 $B$ 上的平凡化 $p$, 那么 $E$ 就同胚于 $F\times B$, 我们就称 $p$ 是一个平凡纤维丛.

例子 3.2. 投影映射$$\begin{array}{c}\begin{array}{rcl}{\mathbb{R}}^{m+n}& \to & {\mathbb{R}}^n,\\ (x_1,\cdots ,x_n,\cdots ,x_{n+m})& \mapsto & (x_1,\cdots ,x_n)\end{array}\end{array}$$是以 ${\mathbb{R}}^m$ 为纤维的纤维丛.

例子 3.3. 流形上秩为 $n$ 的实向量丛是一个以 ${\mathbb{R}}^n$ 为纤维的纤维丛.

例子 3.4. 我们视 $S^{2n+1}$ 为 ${\mathbb{C}}^{n+1}$ 中的单位球, 以如下方式参数化:$$S^{2n+1}=\{z_0,z_1,\cdots ,z_n\in {\mathbb{C}}^{n+1}||z_0{|}^2+|z_1{|}^2+\cdots +|z_n{|}^2=1\}.$$$S^1$ 在 $S^{2n+1}$ 上有一个自然的作用, 由下式给出:$$e^{i\theta }:(z_0,\cdots ,z_n)\mapsto (e^{i\theta }{z}_0,\cdots ,e^{i\theta }{z}_n),e^{i\theta }\in S^1.$$该作用是自由的, 其轨道空间可以视为 $n$-维复射影空间 $\mathbb{C}{\mathbb{P}}^n$$$S^{2n+1}/S^1\cong \mathbb{C}{\mathbb{P}}^n=({\mathbb{C}}^{n+1}-\{0\})/{\mathbb{C}}^{\ast }.$$这时, 投影映射 $S^{2n+1}\to \mathbb{C}{\mathbb{P}}^n$ 就是一个以 $S^1$ 为纤维的纤维丛. 一个不平凡的事实是, 这样的纤维丛并不平凡. $n=1$ 的情况给出了饶富趣味的 Hopf 纤维化$$S^1\to S^3\stackrel{p}{\to }{S}^2=\mathbb{C}{\mathbb{P}}^1.$$

在这一情况下, 投影将 $(z_0,z_1)\in S^3\subset {\mathbb{C}}^2$ 送到 $z_0/z_1\in S^2=\mathbb{C}\cup \{\infty \}$. 在极坐标下我们有$$r_0^2+r_1^2=1\text{且}p(z_0,z_1)=(r_0/r_1)e^{\mathbf{i}({\theta }_0-{\theta }_1)}$$其中 $z_j=r_j{e}^{\mathbf{i}{\theta }_j}$. 对于固定的 $\rho =r_0/r_1$, 我们得到 $S^3$ 中的一个环面 $T_{\rho }$.

当我们将 $S^3$ 等同于 ${\mathbb{R}}^3$ 的紧化 (或者考虑 $S^3\to {\mathbb{R}}^3$ 的球极投影) 时, 我们便可直观看到 (图 1) ${\mathbb{R}}^3$ 上由 $T_{\rho }$ 构成的叶状结构 (foliation), 其中 $T_0$ 退化为 ${\mathbb{R}}^3$ 中 $xy$-平面上的单位圆, $T_{\infty }$ 退化为 $z$-轴. 每个 $S^1$-纤维均是一个环面 $T_{\rho }$ 上斜率为 1 的简单闭曲线, 而投影的象恰好是 ${\mathbb{R}}^3$ 中 (对固定的 $\varphi \in \mathbb{R}$) 半平面$$\{(r\cos (\phi ),r\sin (\phi ),z)\mid r>0,z\in \mathbb{R}\}$$的紧化 $S^2$.

图 1. Hopf 纤维化的直观表示

进一步, $S^1$ 中任意两个不同点处的纤维的不交并事实上称为 Hopf 链环, 如图 2 所示. 这样的链环并不平凡, 于是 Hopf 纤维化不是平凡纤维丛.

图 2. Hopf 链环

定义 3.5. 覆叠 (空间) 是带离散纤维 $F$ 的局部平凡映射 $p:E\to B$. 一个覆叠映射如果是平凡纤维丛, 便又称为平凡覆叠. 如果我们想明确纤维, 我们就称它是 $F$-覆叠. 如果纤维 $F$ 有 $n$ 个点, 我们也称它是 $n$-重覆叠.

图 3. 平凡化 (左) 与覆叠 (右)

例子 3.6. 映射 $\exp :{\mathbb{R}}^1\to S^1,t\to e^{2\pi \mathbf{i}t}$ 是一个 $\mathbb{Z}$-覆叠.

图 4. $S^1$ 的 $\mathbb{Z}$-覆叠

如果 $U=S^1-\{-1\}$, 那么$${\exp }^{-1}(U)=\underset{n\in \mathbb{Z}}{⨆}(n-\frac{1}{2},n+\frac{1}{2}).$$

例子 3.7. 对任意 $n\in \mathbb{Z}-\{0\}$, 映射 $S^1\to S^1,e^{2\pi \mathbf{i}\theta }\mapsto e^{2\pi \mathbf{i}n\theta }$ 是一个 $|n|$-重覆叠.

例子 3.8. 映射 $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, $z\mapsto z^n$ 不是覆叠 (为什么?). 但

•	映射 ${\mathbb{C}}^{\ast }\to {\mathbb{C}}^{\ast }$, $z\mapsto z^n$, 是一个 $|n|$-重覆叠, 其中 ${\mathbb{C}}^{\ast }=\mathbb{C}-\{0\}$ 且 $n\in \mathbb{Z}-\{0\}$.
•	映射 $\exp :\mathbb{C}\to {\mathbb{C}}^{\ast }$, $z\mapsto e^{2\pi iz}$ 是一个 $\mathbb{Z}$-覆叠.

例子 3.9 (取自 Hatcher [??]). 8 字形有下面两种覆叠 (左为一 $2$-重覆叠, 右为一 $3$-重覆叠). 4-正则树 (regular tree) 是其万有覆叠 (单连通的覆叠), 见图 5.

图 5. 4-正则树

例子 3.10. 回忆洞的个数 (亏格) 和边界分支个数决定了紧有向拓扑曲面的同胚类. 令 $S_{g,b}$ 是亏格 $g$ 有 $b$ 个边界分支的曲面.

•	$S_{4,0}$ 有一个来自 $S_{22,0}$ 的 $7$-重覆叠, 参见图 6.
•	一般地, $S_{g,b}$ 有一个来自 $S_{mg-m+1,mb}$ 的 $m$-重覆叠. 图 6. 7-覆叠

例子 3.11. 用 $\mathbb{R}{\mathbb{P}}^n$ 表示 $n$ 维的实射影空间$$\mathbb{R}{\mathbb{P}}^n={\mathbb{R}}^{n+1}-\{0\}/(\underline{x}\sim t\underline{x}),\forall t\in \mathbb{R}-\{0\},\underline{x}\in {\mathbb{R}}^{n+1}-\{0\}.$$令 $S^n$ 是 $n$-维球面. 则有自然的二重覆叠 $S^n\to \mathbb{R}{\mathbb{P}}^n$.

例子 3.12 (分歧二重覆叠). 图 7 展示了圆盘的一个分歧二重覆叠:$$\iota :{\Sigma }_n\to D^2,\text{在 n 个点处分歧.}$$

图 7. Birman-Hilden 通过扭曲的曲面实现的二重覆叠

置言之, 如果从从 ${\Sigma }_n$ 和 $D^2$ 中将这 $n$ 个 (红) 点 (记为 $\Delta$) 移除, 我们就得到一个二重覆叠:$$\iota :{\Sigma }_n\backslash \Delta \stackrel{2:1}{\to }{D}^2\backslash \Delta$$和一个 $\Delta$ 的双射 $\iota :\Delta \to \Delta$.

定义 3.13. 令 $p:E\to B,f:X\to B$. $f$ 沿着 $p$ 的一个提升是一个映射 $F:X\to E$ 使得 $p\circ F=f$

引理 3.14. 令 $p:E\to B$ 为覆叠. 令$$\begin{array}{rl}D& =\{(x,x)\in E\times E|x\in E\}\\ Z& =\{(x,y)\in E\times E|p(x)=p(y)\}.\end{array}$$则 $D\subset Z$ 既开又闭.

证明. 留作练习.

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定理 3.15 (提升的唯一性). 令 $p:E\to B$ 是一个覆叠. 令 $F_0,F_1:X\to E$ 是 $f:X\to B$ 的两个提升. 假设 $X$ 连通, $F_0,F_1$ 在某处相等. 则 $F_0=F_1$.

证明. 令 $D,Z$ 如引理 3.14 中所定义. 考虑映射 $\tilde{F}=(F_0,F_1):X\to Z\subset E\times E$. 由假设, $\tilde{F}(X)\cap D\ne \varnothing$. 更进一步, 引理 3.14 告诉我们 ${\tilde{F}}^{-1}(D)$ 既开又闭. 因 $X$ 连通, 我们知道 ${\tilde{F}}^{-1}(D)=X$, 这等价于说 $F_0=F_1$.

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纤维化

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