1. 范畴与函子
范畴
在范畴论当中, 我们会频繁地使用图表的语言. 粗略地说, 一个图表指的是一些 ‘对象’ 和 ‘箭头’ 的集合; 我们将这些对象记为 , 将箭头记为 , 例如:
我们用 来表示箭头的复合. 如果在一个图表中, 对于任意两个对象, 它们之间任意路径上箭头的复合都相等, 我们称这个图表交换. 对于之前的两个例子而言, 它们交换当且仅当
定义 1.1. 一个范畴 包含如下信息:
1. | 一类对象: (我们称一个范畴是小的, 如果 构成一个集合). 对于范畴 中的对象 , 我们记 , 或直接记为 . |
2. | 任意对象 之间一个态射的集合: . 任意 被称为 到 的一个态射, 记为 当在上下文中我们明确地指范畴 时, 我们也会将 简记为 . |
3. | 一个态射之间的复合操作 : 采用图表的语言, 态射间的复合可以表示如下: |
这些信息满足以下条件:
1. | 结合律: 态射满足 , 并被直接记为 . 采用图表的语言, 结合律表示如下图表交换 |
2. | 复合单位: 对任意 , 存在 , 称为 的单位态射, 它满足也就是说, 下面的图表交换: |
定义 1.2. 范畴 的一个子范畴 (记为 ) 是满足如下条件的范畴:
1. | . |
2. | . |
3. | 继承了 中的复合操作. |
我们称 为 的一个满子范畴, 如果对于任意 , 我们有 .
定义 1.3. 态射 是一个同构 (或是可逆的), 当且仅当存在一态射 满足 , 即如下图表交换, 我们称 是同构的, 当且仅当存在一个同构 .
例子 1.4. 我们会经常遇到下列范畴:
1. | , 集合的范畴: |
2. | , 域 上的向量空间的范畴: 是 的子范畴, 但并不是满的子范畴. |
3. | , 群的范畴: 它有一个满的子范畴是 |
4. | , 环的范畴: 是 的子范畴, 但不是它的满的子范畴. 有一个满的子范畴是 |
我们主要感兴趣的范畴是
• | 构成这个范畴的对象是拓扑空间 |
• | 范畴里对象间的态射 是连续映射. |
例子 1.5. 记 和 是两个范畴. 我们可以如下构造一个新的范畴, 记作 , 并把它称为范畴 和 的乘积.
• | 范畴 中的对象是二元组 , 其中 , . |
• | 对象间的态射是二元组 , 其中 , . |
• | 态射的复合是按部分的复合. |
商范畴与同伦
定义 1.6. 记 是一个范畴. 用 表示定义在每个态射集合 上的一个等价关系, 这个等价关系与态射间的复合映射在下述含义下是相容的: 这种相容性可用下面的图表表示: 这样, 我们就说 在 上定义了一个等价关系. 由此, 我们可以定义商范畴 :
• | . |
• | . |
习题 1.7. 验证上述定义是良定义的.
在代数拓扑中, 同伦是最重要的等价关系之一.
记 . 用 表示拓扑空间 X, Y 在范畴 中的乘积.
定义 1.8. 中的两个态射 是同伦的, 并被记为 , 如果在同伦 需要被特别注明时, 我们也采用 或 这种记法. 这可以用如下图表描述:
记 是 中的一个态射. 我们定义它的同伦类为并采用记号:
定理 1.9. 同伦在 上定义了一个等价关系.
证明. 我们首先验证 在态射集合中定义了一个等价关系.
• | 自反性: 将 取成对任意 都满足 的同伦. |
• | 对称性: 假定我们有一个同伦 . 那么如下 “逆转” : 即取 , 这样就给出了这里所需要的 . |
• | 传递性: 假定我们有两个同伦 和 , 那么像下图所表示地将它们 “放” 在一起就给出 : |
我们接下来验证 与复合映射相容.
记 , 以及 . 假定 且 . 那么
我们将 在同伦等价关系 下的的商范畴记为其中的态射 .
定义 1.10. 两个拓扑空间 被称为具有相同的同伦型, 或称 同伦等价, 如果它们在 中是同构的.
例子 1.11. 和 是同伦等价的, 但它们不是同胚的. 换言之, 它们在 中是同构的, 但在 中是不同构的. 我们将看到, 与 也不是同伦等价的.
我们也有相对同伦的概念.
定义 1.12. 设 , 态射 满足 . 我们称 与 相对于 同伦, 记为如果存在 使得
函子
定义 1.13. 令 是两个范畴. A 协变函子 (相对应的反变函子) 由 组成.
1. | , |
2. | . 我们使用(相对应的 , 使用 |
满足以下性质
1. | (相对应的 ) 对任意可合成态射 (与之对应的, 反转右图中所有箭头). |
2. | . |
是 忠实的 (相应地, 完满的) 当 是单射 (相应地, 满射) . 是满忠实的当 既是忠实又是完满的.
例子 1.14. 恒等函子 映射对任意对象 和态射 .
例子 1.15. 对 ,
定义了一个协变函子并且定义了一个反变函子.
这两种函子叫作由 表示.
例子 1.16. 遗忘函子 (把一个群映射到它的群元素的集合) 可以用由一个生成元生成的自由群表示, 也就是说对于 . 我们有一个集合同构
例子 1.17. 令 是一个阿贝尔群. 给出拓扑空间 , 我们将会研究它的带系数且系数在 中的第 个上同调 . 它定义了一个反变函子如果我们使用胞腔复形范畴的子范畴, 我们将会看到这个函子在 Eilenberg–Maclane 空间中可表示.
例子 1.18. 我们定义一个反变函子 是 上连续的实函数. Gelfand–Kolmogoroff 的一个经典的结果说两个紧 Hausdorff 空间 是同胚的 (也就是说在 中同构) 当且仅当 和 是环同构 (也就是说在 中同构).
命题 1.19. 令 是一个函子. 假设 是一个在 中的同构, 那么 是一个在 中的同构.
自然变换
定义 1.20. 令 是两个范畴并且 是两个函子. A 自然变换 由以下态射组成
使得对下面任意图 (此处 如果 是协变函子, 如果 是反变的)
被称作一个自然同构当 是一个同构对于任意的 并且我们写作 .
例子 1.21. 我们考虑以下两个函子给出一个交换环 , 是这个可逆 矩阵且矩阵元素在 中的群. 是 的可逆元的乘法群, 我们可以认为 .
这个行列式定义了一种自然变换 是这个矩阵的行列式. 这个 的自然性是源于这样的一个事实, 即这个行列式的公式对于任何的系数环都是相同的. 如此, 我们可以说计算行列式是一种自然的运算.
例子 1.22. 令 和 . 我们有
• | 一个自然变换关于 (反变) 可表示函子 . |
• | 一个自然变换关于 (协变) 可表示函子 . |
例子 1.23. 以上两个例子是下面这种结构的特殊情况. 令 .
• | 令 是一个反变函子. 那么任意 包含了一个自然变换. 通过将 指定给 . |
• | 令 成为一个协变函子. 那么任意 包含了一个自然变换. 通过将 指定给 . |
定义 1.24. 令 是函子并且 是两个自然变换. 它们的合成 是一个自然变换从 到 由下面这样定义
定义 1.25. 两个范畴 叫做同构当 使得 . 它们被叫做等价当 和两个自然同构 . 在这些情况下, 我们说 给出了一种范畴的同构/等价.
在使用过程中, 同构是一个对于绝大部分有趣的函子过于苛刻的条件. 而等价是一个更加现实的, 并且本质上同样好. 以下命题在使用中非常有用.
命题 1.26. 令 是两个等价范畴. 那么 是全忠实.
函子范畴
定义 1.27. 令 是小范畴, 并且 是一个范畴. 我们定义函子范畴
• | 对象: 从 到 的函子 |
• | 态射: 两个函子之间的自然变换 (这确实是一个集合因为 是小范畴). |
下面的 Yoneda 引理扮演了一个重要的角色在范畴论和应用中.
定理 1.28 (Yoneda 引理). 令 是一个范畴并且 . 写出下面两个范畴
1. | 逆变情形: 令 是一个逆变函子. 那么这里有一个集合之间的同构这个同构在 中具有函子性. |
2. | 协变情形: 令 是一个协变函子. 那么这里有一个集合之间的同构这个同构在 中具有函子性. |
这个 中函子性的确切的定义是我们有 这个函子的自然同构. 上面 Yoneda 引理中所要求的同构就是例 1.23 中描述的那些映射.
一个重要的结果就是我们已经有同构这两个在 和 中都具有函子性. 这产生了一个全忠实函子.
对偶
范畴论中的许多概念和陈述都有对偶的描述. 这种对偶性值得关注. 粗略地说, 范畴的对偶理论上说是反转所有态射箭头的结果, 将每个对域的引用更改为对目标的引用 (反之亦然) , 并反转合成顺序.
例如, 令 是一个范畴. 我们能够定义它的对偶范畴 为
• | ; |
• | 是一个在 中的态射当且仅当 是一个 在中的态射; |
• | 这两个态射的合成 in 和在 中 的合成一样. |
在 下的反变函子和 下的协变函子是相同的. 有着这样的帮助, 我们可以完全使用协变函子或反变函子. 例如, 如果我们考虑对偶范畴, Yoneda 引理中的两个语句实际上是相同的.
另一个问题, 我们将会经常的考虑提升问题通过找出一个映射 使得下面这个图是交换的.
这个的对偶问题就是扩张问题通过找到一个映射 使得这个对偶图是交换的.
伴随函子
令 , 为两个范畴, 令 为两个 (协变) 函子. 以下规则定义了两个函子我们称 和 互为伴随函子 (更准确的说, 是左伴随函子, 是右伴随函子), 如果存在以下的自然同构这就是说, 对每个 , 我们有一个集合同构并且这个集合同构对 和 都是函子性的. 我们有时将伴随函子写成
例子 1.29 (自由函子 vs 遗忘函子). 令 为一个集合, 为 生成的自由阿贝尔群. 这定义了一个函子“忘掉群结构” 这一操作定义了另一个函子 (这个函子常常被称为遗忘函子)这两个函子互为伴随函子事实上, 数学里面很多 " 自由构造 " 都是某些遗忘函子的左伴随函子.
命题 1.30. 令为一对伴随函子. 则存在自然变换
被称作伴随的单位. 被称作伴随的余单位.
(...)
术语翻译
对象 • 英文 object
态射 • 英文 morphism
乘积 • 英文 product
商范畴 • 英文 quotient category
同伦 • 英文 homotopy
同伦型 • 英文 homotopy type
同伦等价 • 英文 homotopy equivalence