块

块是代数几何与 $p$ 进几何中的构造. 大致来说, 对曲线 $X$ 与空间 $S$, $S$ 上的 $X$-块是 $X\times S$ 上, 标记 $X$ 的一些 $S$-点 (称为它的爪), 并带有某种 Frobenius 作用的向量丛或主丛. 这里曲线的概念很广泛, 可以是 ${\mathbb{F}}_p$ 上的光滑代数曲线, 可以是代数曲线一点处的形式邻域, 也就是进制谱 $\mathrm{Spa}({\mathbb{F}}_p[[T]])$, 还可以是 “混特征曲线” 中一点的形式邻域 $\mathrm{Spa}({\mathbb{Z}}_p)$. 不过, 目前对 “混特征曲线”, 也就是代数整数环的素谱暂时难以定义这一概念.

块与许多其它数学对象有联系. 例如, 局部块对应于 Fargues–Fontaine 曲线上向量丛的修改, 也就是其上 Hecke 叠中的元素. 由此在块的模空间的层上同调上, 可以引入 Galois 群与 Hecke 算子的作用, 从而证明 Langlands 纲领的一些情况.

1定义

整体、纯特征情形

定义 1.1 (块). 设有以下结构:

•	$X$ 是 ${\mathbb{F}}_p$ 上的光滑代数曲线;
•	$S$ 是 ${\mathbb{F}}_p$-概形;
•	$x_1,\cdots ,x_m$ 是态射 $S\to X$, 记 ${\Gamma }_{x_i}\in X\times S$ 为 $x_i$ 的图像, $\mathcal{I}$ 为所有 ${\Gamma }_{x_i}$ 对应的理想层之积;
•	$\varphi :X\times S\to X\times S$ 为 $X$ 上恒等态射与 $S$ 上 Frobenius 态射诱导的态射.

$S$ 上以 $x_1,\cdots ,x_m$ 为爪的 $X$-块指二元组 $(\mathcal{E},{\varphi }_{\mathcal{E}})$, 其中

•	$\mathcal{E}$ 是 $X\times S$ 上的向量丛;
•	${\varphi }_{\mathcal{E}}:{\varphi }^{\ast }\mathcal{E}[\frac{1}{\mathcal{I}}]\simeq \mathcal{E}[\frac{1}{\mathcal{I}}]$ 为同构.

向量丛 $\mathcal{E}$ 的秩称为此块的秩.

在一般约化群上的推广……

局部、纯特征情形

以上定义讲述了对一整条代数曲线定义的块. 在曲线一点的局部 (这里是它的形式邻域, 进制谱 $\mathrm{Spa}({\mathbb{F}}_p[[T]])$), 同样可以作此定义. 只是由于 “形式邻域” 属于解析几何的世界, 以上对概形定义的块需要改成对进制空间定义.

定义 1.2 (块). 设有以下结构:

•	$X=\mathrm{Spa}({\mathbb{F}}_p[[T]])$;
•	$S$ 是 ${\mathbb{F}}_p$-进制空间;
•	$x_1,\cdots ,x_m$ 是态射 $S\to X$, 记 ${\Gamma }_{x_i}\in X\times S$ 为 $x_i$ 的图像, $\mathcal{I}$ 为所有 ${\Gamma }_{x_i}$ 对应的理想层之积;
•	$\varphi :X\times S\to X\times S$ 为 $X$ 上恒等态射与 $S$ 上 Frobenius 态射诱导的态射.

$S$ 上以 $x_1,\cdots ,x_m$ 为爪的 (纯特征) 局部块指二元组 $(\mathcal{E},{\varphi }_{\mathcal{E}})$, 其中

•	$\mathcal{E}$ 是 $X\times S$ 上的向量丛;
•	${\varphi }_{\mathcal{E}}:{\varphi }^{\ast }\mathcal{E}[\frac{1}{\mathcal{I}}]\simeq \mathcal{E}[\frac{1}{\mathcal{I}}]$ 为同构.

向量丛 $\mathcal{E}$ 的秩称为此块的秩.

在一般约化群上的推广……

局部、混特征情形

“混特征的曲线” 在局部上是 $\mathrm{Spa}({\mathbb{Z}}_p)$, 但由于 ${\mathbb{Z}}_p$ 并不是某个域上的形式幂级数环, 不能直接定义 $\mathrm{Spa}({\mathbb{Z}}_p)\times S$ (事实上如在进制空间的范畴中做此定义, 得到的结果就是 $S$ 本身).

由此我们需要下面的定义来人为指定 $\mathrm{Spa}({\mathbb{Z}}_p)\times S$ 的结果. 这一定义的大致想法在于, ${\mathbb{Z}}_p$ 是 Witt 环 $W({\mathbb{F}}_p)$, 因此可以希望 $\mathrm{Spa}({\mathbb{Z}}_p)\times \mathrm{Spa}(R)$ 大致是 $\mathrm{Spa}(W(R))$. 具体地说,

定义 1.3. 设 $S$ 是 ${\mathbb{F}}_p$ 上仿射完美胚空间 $\mathrm{Spa}(R,R^{+})$, $\varpi \in R^{+}$ 为其伪素元, 则记

•	$\mathrm{Spa}(R^{+})\times \mathrm{Spa}({\mathbb{Z}}_p)=\mathrm{Spa}(W(R^{+}))$.
•	$S\times \mathrm{Spa}({\mathbb{Z}}_p)$ 为 $\mathrm{Spa}(W(R^{+}))$ 中由 $|[\varpi ]|>0$ 定义的开子集.

“态射” $S\to \mathrm{Spa}(Z_p)$, 或者说 $S\times \mathrm{Spa}(Z_p)$ 中对应的图像, 则由正置 $S^{♯}$ 来模拟. 这一点可以由 $(R^{♯}{)}^{+}$ 是 $W(R^{+})$ 的商环来印证.

定义 1.4 (块). 设有以下结构:

•	$X=\mathrm{Spa}({\mathbb{Z}}_p)$;
•	$S$ 是 ${\mathbb{F}}_p$ 上仿射完美胚空间;
•	$x_1,\cdots ,x_m$ 为 $S$ 的正置, $x_i$ 对应的正置记作 $S_i^{♯}=\mathrm{Spa}(R_i^{♯},(R_i^{♯}{)}^{+})$, $\mathcal{I}$ 为 $X\times S$ 上所有 $R_i^{♯}$ 对应的理想层之积;
•	$\varphi :X\times S\to X\times S$ 为 $S$ 上 Frobenius 态射诱导的态射.

$S$ 上以 $x_1,\cdots ,x_m$ 为爪的混特征局部块指二元组 $(\mathcal{E},{\varphi }_{\mathcal{E}})$, 其中

•	$\mathcal{E}$ 是 $X\times S$ 上的向量丛;
•	${\varphi }_{\mathcal{E}}:{\varphi }^{\ast }\mathcal{E}[\frac{1}{\mathcal{I}}]\simeq \mathcal{E}[\frac{1}{\mathcal{I}}]$ 为同构.

向量丛 $\mathcal{E}$ 的秩称为此块的秩.

2例子

3性质

4相关概念

•	块的模空间
•	Langlands 纲领

术语翻译

块 • 英文 shtuka • 法文 chtouca • 俄文 штука

爪 • 英文 leg • 法文 patte (f)