射影空间

关于代数几何中的射影空间, 请参见 “射影空间 (代数几何)”.

射影空间是几何学中的重要对象, 起源于射影几何. 它由向 $n$ 维仿射空间中加入无穷远点而得. 例如, 在仿射平面中, 平行线并不相交; 而在射影平面中, 每组平行线相交于一个无穷远点.

域 $k$ 上的 $n$ 维射影空间可以定义为向量空间 $V=k^{n+1}$ 中所有过原点直线的集合, 也就是所有方向的集合. 换言之,$${\mathbb{P}}_k^n=(V\setminus \{0\})/\sim ,$$其中等价关系 $\sim$ 定义为 $v\sim w$ 当且仅当存在非零的 $\lambda \in k$, 使得 $\lambda v=w$. 因此, ${\mathbb{P}}_k^n$ 的元素常常记为$$x=[x_0:x_1:\cdots :x_n],$$其中 $x_0,\dots ,x_n\in k$. 这样, 所有点 $[1:x_1:\cdots :x_n]$ 构成的子空间就是一个 $n$ 维仿射空间, 而其他点, 即 $x_0=0$ 的点, 构成一个 ${\mathbb{P}}_k^{n-1}$, 这些就是相对于上述仿射空间而言的无穷远点.

零维射影空间是单点空间. 一维、二维的射影空间分别称为射影直线、射影平面.

在微分几何与代数拓扑中, 常常考虑实射影空间 ${\mathbb{RP}}^n={\mathbb{P}}_{\mathbb{R}}^n$、复射影空间 ${\mathbb{CP}}^n={\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^n$, 乃至四元射影空间 ${\mathbb{HP}}^n={\mathbb{P}}_{\mathbb{H}}^n$. 它们都是紧、光滑流形, 维数分别为 $n$、$2n$、$4n$. 它们也具有自然的 CW 复形结构.

射影空间是 Graßmann 流形的一个特例.

1定义

作为集合

定义 1.1 (射影空间, 作为集合). 设 $k$ 是域, $V$ 是 $k$-向量空间. 则 $V$ 的射影空间定义为$$\mathbb{P}(V)=(V\setminus \{0\})/\sim ,$$其中等价关系 $\sim$ 定义为 $v\sim w$ 当且仅当存在非零的 $\lambda \in k$, 使得 $\lambda v=w$.

当 $V=k^{n+1}$ 时, 得到的射影空间称为 $k$ 上的 $\mathbf{n}$ 维射影空间, 记为 ${\mathbb{P}}_k^n$. 此时, 每个点 $x\in {\mathbb{P}}^n$ 可以写成$$x=[x_0:x_1:\cdots :x_n],$$其中 $x_0,\dots ,x_n\in k$ 是不全为零的元素, 称为 $x$ 的齐次坐标. 对非零常数 $\lambda \in k$, 有$$[x_0:x_1:\cdots :x_n]=[\lambda x_0:\lambda x_1:\cdots :\lambda x_n].$$

当 $k=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 时, 将 ${\mathbb{P}}_k^n$ 分别记作 ${\mathbb{RP}}^n$、${\mathbb{CP}}^n$, 并赋予其商拓扑.

作为流形

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2性质

可能可以写一些一般性质

由于每一种射影空间均有许多特殊的构造, 其性质参见以下子条目.

•	有限射影空间
•	实射影空间
•	复射影空间
•	四元数射影空间
•	射影空间 (概形)

3相关概念

•	射影几何
•	射影变换
•	射影谱
•	射影丛
•	射影态射
•	仿射空间
•	Graßmann 流形

术语翻译

射影空间 • 英文 projective space • 德文 projektiver Raum (m) • 法文 espace projectif (m) • 拉丁文 spatium projectivum (n) • 古希腊文 προβολικὸς χῶρος (m)