Arzelà–Ascoli 定理

Arzelà–Ascoli 定理说明, 对闭区间 $X=[a,b]$ 上的一族连续函数 $\mathcal{F}$ 而言, 以下两个条件等价:

•	$\mathcal{F}$ 在连续映射空间 $C(X,\mathbb{R})$ 中相对紧. 等价地说, $\mathcal{F}$ 中每个序列都有一致收敛的子列.
•	$\mathcal{F}$ 等度连续并且一致有界.

Arzelà–Ascoli 定理在若干著名定理的证明中都扮演关键的角色, 用来构造收敛子序列. 这些定理包括常微分方程解的存在唯一性、Montel 定理、Peter–Weyl 定理.

在 Arzelà–Ascoli 定理中, 函数的定义域可以推广到任何紧 Hausdorff 空间, 甚至任何收敛空间; 函数的到达域也可以推广到任何一致空间.

1定理和证明

定理的一种基础情形可以叙述如下.

定理 1.1 (Arzelà–Ascoli). 对闭区间 $X=[a,b]$ 上的一族连续函数 $\mathcal{F}\subset C(X,\mathbb{R})$ 而言, 以下两个条件等价:

•	$\mathcal{F}$ 中每个序列都有一致收敛的子列.
•	$\mathcal{F}$ 等度连续并且一致有界.

证明. (...)

$\square$

一般的情形叙述如下, 其证明也完全同理.

定理 1.2 (Arzelà–Ascoli). 设 $X$ 是紧 Hausdorff 空间, $Y$ 是一致空间. 对一族连续映射 $\mathcal{F}\subset C(X,Y)$ 而言, 以下两个条件等价:

•	$\mathcal{F}$ 在连续映射空间 $C(X,Y)$ 中相对紧, 即具有紧的闭包, 其中 $C(X,Y)$ 带有紧开拓扑.
•	$\mathcal{F}$ 等度连续, 并且对任意 $x\in X$, 集合 $\{f(x)\mid f\in \mathcal{F}\}$ 在 $Y$ 中相对紧.

证明. (...)

$\square$

注 1.3. 定理 1.2 还可以进一步推广, 事实上, $X$ 可以是任何拓扑空间. 此时, $C(X,Y)$ 的拓扑应该换成使所有形如$$Z\to C(X,Y),z\mapsto f(-,z)$$的映射都连续的最强拓扑, 其中 $Z$ 是任何拓扑空间, $f:X\times Z\to Y$ 是任何连续映射.

更进一步, $X$ 可以推广到任何收敛空间, 此时 $C(X,Y)$ 也只是一个收敛空间. 以上两个结论的证明可参阅 [BB02, §2.4].

2例子

(...)

参考文献

[BB02]

R. Beattie and H.-P. Butzmann (2002). Convergence Structures and Applications to Functional Analysis. Springer.

术语翻译

Arzelà–Ascoli 定理 • 英文 Arzelà–Ascoli theorem • 德文 Satz von Arzelà–Ascoli • 法文 théorème d’Arzelà–Ascoli