收敛空间

收敛空间是拓扑空间的一种推广, 在这种空间上, 我们只关心序列 (确切地说, 滤子或网) 的收敛的概念.

所有拓扑空间都是收敛空间. 有一些收敛的概念无法从拓扑空间得到, 例如几乎处处收敛, 以及概率论中的依测度收敛. 这些收敛性也可以通过收敛空间刻画.

1定义

通过滤子

定义 1.1 (收敛空间). 收敛空间是指一个集合 $X$, 带有一个二元关系$$\to \subset \mathcal{F}X\times X,$$其中 $\mathcal{F}X$ 是 $X$ 上所有滤子的集合, 满足以下条件: 我们记 $F\to x$ 当且仅当 $(F,x)\in \to$, 并称滤子 $F$ 收敛到 $x$, 或 $x$ 是 $F$ 的极限. 则

•	对任何 $x\in X$, $x$ 处的主滤子 $F_x=\{A\subset X\mid x\in A\}$ 收敛到 $x$.
•	如果 $F\subset G$ 且 $F\to x$, 那么 $G\to x$.
•	如果 $F\to x$ 且 $G\to x$, 那么 $F\cap G\to x$.

以上条件也可以总结成一句非常拗口的话:

•	对任何 $x\in X$, 所有收敛到 $x$ 的滤子构成主滤子 $F_x$ 的子滤子构成的滤子的一个子滤子.

定义 1.2 (连续映射). 设 $X,Y$ 是收敛空间 (定义 1.1). 则 $X,Y$ 之间的连续映射是指集合间映射 $f:X\to Y$, 使得对 $X$ 上任意滤子 $F$ 以及任意 $x\in X$, $$F\to x⟹f_{\ast }(F)\to f(x),$$其中 $f_{\ast }$ 是滤子的前推.

定义 1.3 (收敛空间范畴). 所有收敛空间 (定义 1.1) 和它们之间的连续映射 (定义 1.2) 构成一个范畴, 记为 $\mathsf{Conv}$.

通过网

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2例子

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3性质

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4相关概念

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一致空间

术语翻译

收敛空间 • 英文 convergence space