一致空间

一致空间是一种空间, 在这种空间上, 可以谈论完备、一致连续、一致收敛的概念. 例如, 度量空间和拓扑群都是一致空间.

一致结构和拓扑结构的区别在于, 一致结构刻画了不同点之间的相对邻近性: “$x$ 离 $a$ 比 $y$ 离 $b$ 近” 之类的概念, 在一致空间中是有意义的. 相反在拓扑空间中, 有意义的概念只有, “点 $x$ 能 ‘任意靠近’ 集合 $A$ (即 $x\in \bar{A}$), 以及 “和 $B$ 相比, $A\ni x$ 是更小的邻域”, 但不同点之间相对邻近性就不能只用拓扑结构来描述了.

粗略地说, 一致空间是没有可数性的度量空间.

1定义

定义 1.1 (一致空间). 设 $X$ 是集合. $X$ 上的一致结构是 $X$ 上的一族二元关系$$\mathcal{U}=\{U_i\subseteq X\times X{\}}_{i\in I},$$称为邻近关系, 满足以下条件: 我们记 $x\stackrel{U}{\sim }y$ 当且仅当 $(x,y)\in U\subset X\times X$. 则

•	对任何 $U\in \mathcal{U}$ 和 $x\in X$, 有$$x\stackrel{U}{\sim }x.$$
•	对任何 $U\in \mathcal{U}$, 存在 $V\in \mathcal{U}$, 使得 $V\circ V\subset U$, 其中 $\circ$ 是关系复合. 换言之, 对任意 $x,y,z\in X$, 有$$x\stackrel{V}{\sim }y\stackrel{V}{\sim }z⟹x\stackrel{U}{\sim }z.$$
•	对任何 $U\in \mathcal{U}$, 都有 $U^{\mathrm{op}}\in \mathcal{U}$, 其中 $U^{\mathrm{op}}$ 是 $U$ 的反关系. 换言之, $$x\stackrel{U}{\sim }y⟺y\stackrel{U^{\mathrm{op}}}{\sim }x.$$
•	$\mathcal{U}$ 是 $X\times X$ 上的滤子. 具体地说, 这意味着 ∘ 如果 $U\in \mathcal{U}$, 并且 $U\subset V\subset X\times X$, 那么 $V\in \mathcal{U}$. ∘ 如果 $U,V\in \mathcal{U}$, 那么 $U\cap V\in \mathcal{U}$.

带有一个一致结构的集合称为一致空间.

如同拓扑空间之间有连续映射, 一致空间之间也有一致连续映射.

定义 1.2 (一致连续). 对一致空间 $(X,\mathcal{U}),(Y,\mathcal{V})$, 称 $f:X\to Y$ 一致连续, 指对任意 $V\in \mathcal{V}$, $f^{-1}(V)\in \mathcal{U}$.

于是和拓扑空间类似, 考虑一致空间的范畴时, 态射取成一致连续映射.

2例子

首先, 和拓扑基类似, 不难发现, 如集族 $\mathcal{B}=\{B_i\subseteq X\times X\}$ 满足一致空间定义中前三条以及第四条的第二部分, 令 $\mathcal{U}=\{U\subseteq X\times X\mid \exists B\in \mathcal{B},B\subseteq U\}$, 即得一致空间. 我们将 $\mathcal{U}$ 称为是 $\mathcal{B}$ 生成的一致结构. 以下例子中的一致结构通常为这样生成出来的.

例 2.1 (度量空间). 如 $(X,d)$ 是度量空间, 则$$\{\{(x,y)\in X\times X\mid d(x,y)<r\}\mid r\in {\mathbb{R}}_{+}\}$$生成 $X$ 上一致结构.

例 2.2 (拓扑群). 如 $G$ 是拓扑群, 则$$\{\{(x,y)\in G\times G\mid x{y}^{-1}\in U\}\mid U\ni 1是开邻域\}$$生成 $G$ 上一致结构.

3与拓扑空间的联系

令 $x\in X$ 的邻域滤子为 $\{y\in X\mid x\stackrel{U}{\sim }y{\}}_{U\in \mathcal{U}}$, 一致结构便自然诱导拓扑结构. 具体地说,

定义 3.1 (一致拓扑). 对一致空间 $(X,\mathcal{U})$, 称 $Y\subseteq X$ 为开集, 指对任意 $x\in Y$ 存在 $U\in \mathcal{U}$ 使得 $U\cap (\{x\}\times X)\subseteq Y$. 容易验证这是 $X$ 上的拓扑结构, 称为此一致空间的一致拓扑.

一致拓扑总有较好的分离性: 它总是完全正则, 即只要 ${\text{T}}_0$ 就会 ${\text{T}}_{3.5}$.

4完备性

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术语翻译

一致空间 • 英文 uniform space • 德文 uniformer Raum • 法文 espace uniforme