常微分方程解的存在唯一性定理

常微分方程解的存在唯一性定理, 也叫 Picard–Lindelöf 定理、Picard 存在性定理、Cauchy–Lipschitz 定理, 说的是在一定条件下, 常微分方程的初值问题存在唯一的局部解.

1定理与证明

定理 1.1 (常微分方程解的存在唯一性定理). 对于初值问题$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{f}(\mathbf{x},t),\\ \mathbf{x}(t_0)={\mathbf{x}}_0,\end{array}$$如果 $\mathbf{f}(\mathbf{x},t)$ 在矩形闭区域 $D=\{(\mathbf{x},t)\mid |t-t_0|\le a,\Vert \mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0\Vert \le b\}$ 上连续, 并且在 $D$ 中对 $\mathbf{x}$ 满足 Lipschitz 条件: $$\Vert \mathbf{f}(\mathbf{x},t)-\mathbf{f}(\mathbf{y},t)\Vert \le L\Vert \mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert ,(\mathbf{x},t),(\mathbf{y},t)\in D,$$令 $M={\max }_D\Vert f\Vert ,h=\min \{a,b/M\}$, 则在 $[t_0-h,t_0+h]$ 上上述初值问题存在唯一的解.

证明. 我们将说明这只是压缩映射定理的推论. 为此, 我们要证明初值问题的解是一个空间上某个压缩变换的不动点. 令 $h^{\ast }=\min \{h,1/L\}$. 我们取空间 $\mathcal{B}=C[t_0-a,t_0+a]$, 即 $[t_0-a,t_0+a]$ 上一切连续函数构成的空间, 按极大值范数 $\Vert u\Vert :={\max }_{[t_0-h^{\ast },t_0+h^{\ast }]}|u|$ 构成一个 Banach 空间. 一个序列在这个空间中收敛等价于一致收敛. 然后我们在 $\mathcal{B}$ 上定义 Picard 映射 $A:\mathcal{B}\to \mathcal{B}$, $$(A\varphi )(t)={\mathbf{x}}_0+{\int }_{t_0}^t\mathbf{f}(\varphi (t),t)\mathrm{d}t,\varphi \in \mathcal{B},$$则如果 $A\varphi =\varphi$, 则$${\varphi }^{\prime }(t)=\mathbf{f}(\varphi (t),t),\varphi (t_0)={\mathbf{x}}_0,$$即 $\varphi$ 是初值问题在区间 $[t_0-h^{\ast },t_0+h^{\ast }]$ 上的解; 反之通过对初值问题的任一 $[t_0-h^{\ast },t_0+h^{\ast }]$ 上的解积分也可知它是 Picard 映射的不动点.

下面只要验证 $A$ 是压缩映射. 设 $\varphi ,\psi \in \mathcal{B}$, 则$$\begin{array}{rl}|(A\varphi -A\psi )(t)|& =\left|{\int }_{t_0}^t(\mathbf{f}(\varphi (t),t)-\mathbf{f}(\psi (t),t))\mathrm{d}t\right|\\ & \le \left|{\int }_{t_0}^t|\mathbf{f}(\varphi (t),t)-\mathbf{f}(\psi (t),t)|\mathrm{d}t\right|\\ & \le L|t-t_0|\Vert \varphi -\psi \Vert \\ & \le L{h}^{\ast }\Vert \varphi -\psi \Vert ,\end{array}$$故$$\Vert A\varphi -A\psi \Vert \le L{h}^{\ast }\Vert \varphi -\psi \Vert ,$$因为 $L{h}^{\ast }<1$, 所以 $A$ 是压缩映射.

由压缩映射定理, 我们已经有初值问题在 $[t_0-h^{\ast },t_0+h^{\ast }]$ 上的解 $\varphi$. 当 $h^{\ast }<h$ 时, 我们证明这个解可以延拓到 $[t_0-h,t_0+h]$ 上. 这时, $1/L<h$. 不妨假设 $\varphi$ 已经向右延拓到了 $[t_0,t_1]$ 上, $h^{\ast }\le t_1\le h$, 考虑初值问题$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{f}(\mathbf{x},t),\\ \mathbf{x}(t_1)=\varphi (t_1)\end{array}$$的唯一解 ${\varphi }^{\ast }$, 这里 $\mathbf{f}$ 在 $\Vert t-t_1\Vert \le a^{\prime }$, $\Vert \mathbf{x}-\varphi (t_1)\Vert \le b^{\prime }$ 上连续并对同一个 $L$ 满足 Lipschitz 条件, $a^{\prime }=a-(t_1-t_0)$, $b^{\prime }=b-\Vert \varphi (t_1)-{\mathbf{x}}_0\Vert$. 那么 ${\varphi }^{\ast }$ 在 $t_1$ 的左侧与 $\varphi$ 重合. 我们观察它向右可以延伸多远. 令 $h^{\prime }=\min \{a^{\prime },b^{\prime }/M\}$,

•	如果 $1/L<h^{\prime }$, 则 $\varphi$ 可以沿 ${\varphi }^{\ast }$ 延伸到 $[t_0,t_1+1/L]$;

•

如果 $1/L>h^{\prime }$, 则 $\varphi$ 或者可以延伸到 $[t_0,t_1+a^{\prime }]=[t_0,t_0+a]$, 或者可以延伸到 $[t_0,t_0+t_1+b^{\prime }/M]\supset [t_0,t_0+b/M]$, 其中包含关系是因为$$\begin{array}{rl}b/M& =(b^{\prime }+\Vert \varphi (t_1)-{\mathbf{x}}_0\Vert )/M\\ & =(b^{\prime }+\Vert \varphi (t_1)-\varphi (t_0)\Vert )/M\\ & \le (b^{\prime }+M(t_1-t_0))/M\\ & =b^{\prime }/M+t_1-t_0.\end{array}$$

总之, $\varphi$ 可以在至多 $a/(1/L)+1$ 步内向右延伸到 $[t_0,t_0+h]$ 上. 向左延伸同理. 我们于是得到 $[t_0-h,t_0+h]$ 上的唯一解.

$\square$

注 1.2.

•

如果 $\mathbf{f}$ 带一个和 $\mathbf{x},t$ 无关的参数 $\mathbf{p}$, 并且 $\mathbf{f}$ 连续依赖于 $\mathbf{p}$, 则用同样的手法可以证明解也是连续依赖于 $\mathbf{p}$ 的. 又, 如果考虑初值问题$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{f}(\mathbf{x}+{\mathbf{x}}_0,t),\\ \mathbf{x}(t_0)=0,\end{array}$$则解 $\varphi$ 连续依赖于 ${\mathbf{x}}_0$, 从而 $\varphi +{\mathbf{x}}_0$ 连续依赖于 ${\mathbf{x}}_0$, 而 $\varphi +{\mathbf{x}}_0$ 又恰是$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{f}(\mathbf{x},t),\\ \mathbf{x}(t_0)={\mathbf{x}}_0\end{array}$$的解, 我们就证明了解是连续依赖于初值的.

•	根据压缩映射原理, 我们选取常值函数 ${\varphi }_0(t)={\mathbf{x}}_0$ 作为初始解, 再使用 Picard 映射反复迭代, 则最终将收敛于真实解. 这称为 Picard 迭代法.

2推广

(Peano 存在定理, 并说明如何使用 Arzelà–Ascoli 引理)

术语翻译

常微分方程解的存在唯一性定理 • 英文 existence and uniqueness theorem for solutions to ordinary differential equations