8.1. 有限半单环

在本节中, 我们描述当 $R$ 的根为 0 时 $R$ 的结构.

定理 8.1.1. 设 $R$ 满足 $Rad (R) = 0$ ; 即设 $R$ 是半单的. 那么 $_{R} R$ 是极小左理想的直和.

证明. 我们有

_{R} R = L_{1} \oplus \dots \oplus L_{n}

, 其中

L_{i}

是不可分解的且

L_{i} = R e_{i}

. 但是

L_{i}

的极大真子模是

N_{i} = L_{i} \cap Rad (R) = 0

. 因此

L_{i}

是极小的.

$□$

第二个证明. 我们给出一个不利用定理 7.9 的直接证明.

设 $M_{1}, \dots, M_{n}$ 是 $R$ 的极大左理想. 那么 $0 = Rad (R) = ⋂ M_{i}$ .

我们可以假设 $M_{i}$ 不包含 $L_{i} = ⋂_{j \neq = i} M_{j}$ (否则可以消去 $M_{i}$ ). 于是 $M_{i} + L_{i} = R$ 且 $M_{i} \cap L_{i} = 0$ . 因此作为左 $R$ -模有 $L_{i} ≅ R / M_{i}$ 且 $L_{i}$ 是极小的.

于是 $L_{i} = R e_{i}$ (由推论 7.6) 且 $M_{i} = R (1 - e_{i})$ . 设 $e = e_{1} + \dots + e_{n}$ .

那么

$e - 1 = (e_{i} - 1) + j \neq = i \sum e_{j}$

在

M_{i} + M_{i}

中, 因此在

M_{i}

中. 于是

e - 1

在

⋂ M_{i}

中, 即

e = 1

. 因此

1 = e_{1} + \dots + e_{n}

且

_{R} R = L_{1} \oplus \dots \oplus L_{n}

.

$□$

因此, 如果 $Rad (R) = 0$ , 那么 $_{R} R = L_{1} \oplus \dots \oplus L_{n}$ , 其中 $L_{i}$ 是极小的. $L_{i}$ 的齐次分量 $H (L_{i})$ , 简记为 $H_{i}$ , 是所有满足 $L ≅ L_{i}$ (作为左 $R$ -模) 的极小左理想 $L$ 的直和.

定理 8.1.2. 设 $R$ 是半单的, 并且假设

$_{R} R = i = 1 ⨁ n L_{i} (极小左理想)$

且

$R_{R} = j = 1 ⨁ m M_{j} (极小右理想) .$

那么

(a)	$m = n$ .
(b)	$_{R} R$ 和 $R_{R}$ 有相同的齐次分量.
(c)	齐次分量是极小的双边理想.

证明. 证明. 设 $H$ 是一个分量. 那么 $H = ⨁ R f$ , 其中 $R f$ 是极小左理想且直和取遍所有满足 $R f ≅ R e$ 的幂等元 $f$ . 但是 $R f ≅ R e$ 当且仅当 (定理 7.2) $e R ≅ f R$ . 因此 $\overline{H} = ⨁ f R$ 是 $R_{R}$ 的对应于 $H$ 的分量. 我们断言 $H = \overline{H}$ .

假设 $ϕ :_{R} R \to_{R} R$ 是一个 $R$ -态射. 那么

$ϕ (H) = ϕ (⨁ R f) \subseteq H$

因为 $ϕ (R f) \subseteq H$ . 但是 $ϕ$ 是一个右可乘映射, 因此 $H$ 是一个理想.

于是 $\overline{H} = ⨁ f R \subseteq H$ . 类似地 $H \subseteq \overline{H}$ . 因此 $H = \overline{H}$ 且 $m = n$ .

为了证明

H

是极小的, 设

K \neq = 0

是

H

中的一个理想. 那么

_{R} K

是形如

R e

的极小左理想的直和. 但是如果

R f ≅ R e

那么

f = vu = v e u

且

R f = R e u \subset K u \subset K

; 即

H \subset K

.

$□$

因此, 我们容易看出

$R = H_{1} \oplus \dots \oplus H_{t},$

其中 $H_{i}$ 是理想. 我们应用命题 6.1 且 $H_{i} = R c_{i}$ , 其中 $c_{i}$ 是一个中心幂等元且 $H_{i}$ 是一个以 $c_{i}$ 为幺元的环.

进一步,

$H_{i} = R c_{i} = j = 1 ⨁ t (i) R e_{i_{j}},$

其中 $R e_{i_{j}}$ 是极小左理想且 $R e_{i_{j}} ≅ R e_{i_{k}}, 1 \leq j, k \leq t (i) .$ 显然有

$c_{i} = c_{i} (e_{i_{1}} + \dots + e_{i_{t (i)}}) = e_{i_{1}} + \dots + e_{i_{t (i)}}$

现在将定理 7.3 应用于 $H_{i}$ . 这给出以下结构.

定理 8.1.3. 设 $H = ⨁ R e$ 是半单环 $R$ 的一个齐次分量. 那么, 作为一个环, $H$ 同构于有限域 $e R e$ 上的一个完全矩阵环.

定理 8.1.4 (有限半单环的结构定理). 如果 $R$ 是一个半单环, 那么 $R$ 可以唯一地 (除直和项的次序外) 分解为有限域上矩阵环的有限直和.

证明. 我们只需要证明唯一性. 这将由几个引理得出.

$□$

引理 (A). 如果 $R ≅ M_{n} (k)$ (作为环), 其中 $k$ 是一个有限域, 那么 $n$ 和 $k$ 是唯一的.

证明. 左 $M_{n} (k)$ -模 $M_{n} (k)$ 有一个合成列

$L_{1} \oplus \dots \oplus L_{n} \supseteq L_{2} \oplus \dots \oplus L_{n} \supset \dots \supseteq L_{n - 1} \oplus L_{n} \supseteq L_{n} \supseteq (0)$

其中如果 $E_{ij}$ 是标准矩阵单位, 那么 $L_{i} = M_{n} (k) E_{ii}$ . 这个列的长度为 $n$ . 因此由于 $R ≅ M_{n} (k)$ , $_{R} R$ 有一个长度为 $n$ 的合成列. 根据 Jordan–Hölder 定理, 合成列的长度是唯一的. 因此 $n$ 是唯一的.

由于

∣ k ∣ = p^{m}

对某个素数

p

和整数

m

成立,

∣ R ∣ = (p^{m})^{n^{2}}

. 这给出了

k

的唯一性.

$□$

下一个引理是一个标准练习.

引理 (B). 设 $k$ 是一个有限域. 那么 $M_{n} (k)$ 是一个单环.

以下是直接的.

引理 (C). 设 $R = ⨁_{j = 1}^{n} R_{j}$ , 其中环 $R_{j}$ 的幺元为 $1_{j}$ . 那么 $R$ 的每个左理想 $L$ 都有形式

$L = j = 1 ⨁ n L_{j}$

其中 $L_{j}$ 是 $R_{j}$ 的一个左理想. 反过来, 每个这样的和都是 $R$ 的一个左理想.

引理 C 给出下一个结果.

引理 (D). 单环的有限直和是一个半单环.

我们现在证明定理 8.1.4: 假设 $R$ 是半单的且 $R = i = 1 ⨁ n R_{i} = j = 1 ⨁ m S_{j} .$ $R_{i}, S_{j}$ 是单环. 那么 $S_{j}$ 是 $R$ 的一个理想且由 (C)

$S_{j} = i = 1 ⨁ n \overline{Y}_{i}$

其中 $\overline{Y}_{i} = R_{i}$ 或 $\overline{Y}_{i} = (0)$ . 但是 $S_{j}$ 是单的, 因此对某个指标 $i$ , $S_{j} = \overline{Y}_{i} = R_{i}$ 且 $\overline{Y}_{k} = (0), k \neq = i$ . 因此 $m = n$ 且重新编号后有 $R_{i} = S_{i}$ . 现在应用引理 A.

反过来, 有限域上矩阵环的有限直和是一个半单环.

我们以半单环和单环的一些性质来结束本节.

定理 8.1.5. 以下条件是等价的:

(a)	环 $R$ 是半单的.
(b)	$R$ 的每个左理想都是主理想且是 $_{R} R$ 的直和项.
(c)	如果 $a \in R$ , 那么存在 $a^{'}$ 使得 $a a^{'} a = a$ .

证明. 通过检查 $M_{n} (k)$ 的左理想, 容易看出 (a) 蕴含 (b). 假设 (b) 且设 $a \in R$ . 那么 $R a$ 是一个直和项且存在一个幂等元 e 使得 $R a = R e$ . 那么

e = a^{'} a

且

a a^{'} a = a e = a

. 为了证明 (c) 蕴含 (a), 设

a \in R

非零. 那么

1 - a a^{'}

是零因子. 因此

a \in / Rad (R)

且

Rad (R) = 0

.

$□$

定理 8.1.6 (Schafer). 一个单环由 $n \leq 2$ 个元素生成.

证明. 如果 $R$ 是交换的, 那么 $R$ 是一个有限域. 因此 $R$ 的单位 $R^{\times}$ 形成一个乘法循环群. $R^{\times}$ 的一个生成元生成环 $R$ .

如果 $R$ 不是交换的, 那么我们可以假设 $R = M_{n} (k)$ 对某个 $n$ 和有限域 k 成立. 设 $y = ⎣ ⎡ 00 ⋮ 01 10 ⋮ 00 01 ⋮ 00 \dots \dots ⋱ \dots \dots 00 ⋮ 10 ⎦ ⎤ .$

那么 $y^{n} = 1$ . 如果 $E_{ij}$ 表示标准矩阵单位, 那么

$y^{n - i + 1} E_{11} = E_{i 1}$

且

$E_{11} y^{j - 1} = E_{1 j} .$

因此, $E_{ij} = E_{i 1} E_{1 j} = y^{n - i + 1} E_{11} y^{j - 1}$ .

对于 $a \in R$ , $a = [α_{ij}]$ ,

$a = \sum α_{ij} E_{ij} = \sum y^{n - i + 1} (α_{ij} E_{11}) y^{j - 1} .$

如果

θ

生成

k^{\times}

, 那么

α_{ij} = θ^{S_{ij}}

且

α_{ij} E_{11} = (θ E_{11})^{S_{ij}}

. 因此

y

和

θ E_{11}

生成

R

.

$□$

定理 8.1.7. 设 $R$ 是一个单环且 $M$ 是一个有限生成的 $R$ -模. 那么 $M = M_{1} \oplus \dots \oplus M_{m}$ , 其中 $M_{i} ≅ L$ (作为 $R$ -模) 对 $1 \leq i \leq n$ 成立, 其中 $L$ 是 $R$ 的一个极小左理想.

证明. 模 $M$ 是不可分解 $R$ -模的直和. 因此可以假设 $M$ 是不可分解的并证明 $M ≅ L$ , 其中 $L$ 是 $R$ 的一个极小左理想. 注意 $R$ 的任何两个极小左理想作为 $R$ -模是同构的. 设 $_{R} R = R e_{1} \oplus \dots \oplus R e_{n}$ 是将 $R$ 分解为极小左理想. 那么

$M = m \in M \sum i = 1 \sum n R e_{i} M .$

映射

R e_{i} \to R e_{i} m

;

r e_{i} \mapsto r e_{i} m

是一个

R

-态射, 且由于

R e_{i}

是一个极小左理想, 它的核要么是

0

要么是

R e_{i}

. 因此

M

同构于

R

的极小左理想的和. 容易看出这样的和是直和 (因此

M

是可分解的), 除非对某个

m \in M

和幂等元

e_{i}

有

M ≅ R e_{i} m

.

$□$

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