7. 幂等元

本节为后续章节提供基础理论. 我们将通过以下方式研究有限环 $R$ 的结构: 存在 $R$ 与 $\mathrm{End}{(}_{R}R)$ 之间的自然反同构. 因此, 为确定 $R$, 我们考察 $\mathrm{End}{(}_{R}R)$. 由于 ${}_{R}R=L_1\oplus \cdots \oplus L_n$, 其中 $L_i$ 为左理想, 故有 $\mathrm{End}{(}_{R}R)\cong {⨁}_{i,j}{\mathrm{Hom}}_R(L_i,L_j)$. 由于每个左理想 $L_i$ 可表示为 $R{e}_i$ ($e_i$ 为幂等元) , 主要问题转化为研究左理想 $Re$ 及 $R$-同态 ${\mathrm{Hom}}_R(Re,Rf)$ (其中 $e$ 和 $f$ 为幂等元) . 我们特别关注 $Re$ 不可分解的情形, 这等价于环 $eRe$ 为局部环. 因此, 本节将探讨左理想 $Re$, 环 $eRe$ 及其根, $R$-同态 ${\mathrm{Hom}}_R(Re,Rf)$, $R$ 作为左理想分解的唯一性, 以及幂等元从 $R/\mathrm{Rad}(R)$ 到 $R$ 的 “提升”.

可以说, 当前的方法论是 “矩阵理论” 的——因此幂等元扮演核心角色. 为说明这一点, 我们首先给出局部环上矩阵环中幂等元的例子. 此例具有重要意义, 因为后续将证明有限环是局部环上矩阵环子环的同态像, 而且环同态保持幂等元.

环 $R$ 中的元素 $e$ 若满足 $e^2=e$, 则称为幂等元. 两个幂等元若满足 $ef=fe=0$, 则称为正交的. 幂等元 $e$ 若对所有 $r\in R$ 满足 $re=er$, 则称为中心的或交换的; 若 $e\ne 0,1$, 则称为非平凡的.

重要示例. 设 $R$ 为局部环, $R^{(n)}$ 为自由 $R$-模. 假设 $e:R^{(n)}\to R^{(n)}$ 是满足 $e^2=e$ 的 $R$-同态 (即 $e$ 是 ${\mathrm{End}}_R(R^{(n)})$ 中的幂等元) .

定义$$N(e)=\{x\in R^{(n)}\mid e(x)=x\}$$和$$P(e)=\{x\in R^{(n)}\mid e(x)=0\}.$$

显然 $N(e)\cap P(e)=0$, 且对任意 $x\in R^{(n)}$, 有 $x=e(x)+(x-e(x))$, 其中 $e(x)\in N(e)$, $x-e(x)\in P(e)$. 因此 $R^{(n)}=N(e)\oplus P(e)$. 由此, $N(e)$ 和 $P(e)$ 均为投射模, 根据 5.4, 它们也是自由的. 选取 $N(e)$ 和 $P(e)$ 的自由 $R$-基, 我们得到 $R^{(n)}$ 的自由 $R$-基, 且在此基下 $e$ 的矩阵表示为$$\mathrm{Mat}(e)=\left[\begin{array}{cc}{I}_t& 0\\ 0& 0\end{array}\right],$$其中 $I_t$ 为 $t\times t$ 单位矩阵, $t={\dim }_R(N(e))$.

若 $S={\mathrm{End}}_R(R^{(n)})$, 则$$Se\cong \left\{\left[\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1t}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nt}& 0& \cdots & 0\end{array}\right]|a_{ij}\in R\right\}$$(作为左 $S$-模) , 且$$eSe\cong \left\{\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& 0\end{array}\right]|A\in M_t(R)\right\}$$(作为环) . 特别地, $eSe$ 是局部环当且仅当 $e$ 的矩阵表示为$$\mathrm{Mat}(e)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right],$$此时 $eSe\cong R$ (作为环) . 示例完毕.

若 $e$ 是环 $R$ 中的幂等元, 则 $1-e$ 是与 $e$ 正交的幂等元, 且$$1=e+(1-e)$$给出了 ${}_{R}R$ 作为左理想 (或左 $R$-模) 的直和分解: $${}_{R}R=Re\oplus R(1-e).$$反之, 若对左理想 $L_1$ 和 $L_2$ 有 ${}_{R}R=L_1\oplus L_2$, 则存在 $1=e_1+e_2$, 其中 $e_1\in L_1$, $e_2\in L_2$. 此时 $e_i^2=e_i$ ($i=1,2$) 且 $e_1{e}_2=e_2{e}_1=0$. 进一步有 $L_1=R{e}_1$ 和 $L_2=R{e}_2$. 若左理想 $L$ 是 ${}_{R}R$ 的直和项, 则称 $L$ 为 $R$ 的分量.

因此, 左理想 $L$ 是分量当且仅当存在 $R$ 的幂等元 $e$ 使得 $L=Re$.

后续许多内容依赖于 $R$ 或其分量的 $R$-自同态. 我们先来考察有限直和的自同态.

设左 $R$-模 $M$ 分解为左 $R$-模 $M_i$ ($1\le i\le m$) 的直和: $$M=M_1\oplus \cdots \oplus M_m.$$令 ${\lambda }_j:M_j\to M$ 为自然包含映射, ${\Pi }_j:M\to M_j$ 为自然投影映射 ($1\le j\le m$) . 对任意 $x\in M$, 有唯一分解$$x=x_1+\cdots +x_m,$$其中 $x_i\in M_i$. 进一步, $${\Pi }_{j}x=x_j,$$$${\Pi }_i{\lambda }_j{\Pi }_{j}x=0\text{若}i\ne j,$$且$$\sum _j{\lambda }_j{\Pi }_{j}x=x,$$即$$\sum _j{\lambda }_j{\Pi }_j={\mathrm{id}}_M.$$

设 $\sigma :M\to M$ 为 $R$-自同态. 定义$${\sigma }_{ij}={\Pi }_i\sigma {\lambda }_j,$$注意到 ${\sigma }_{ij}:M_j\to M_i$. 通过这种方式, 我们将 $\sigma$ 关联到矩阵 $\mathrm{Mat}(\sigma )$: $$\mathrm{Mat}:\sigma \mapsto \mathrm{Mat}(\sigma )=\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& \cdots & {\sigma }_{1m}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& \cdots & {\sigma }_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sigma }_{m1}& {\sigma }_{m2}& \cdots & {\sigma }_{mm}\end{array}\right]=[{\sigma }_{ij}],$$其中 ${\sigma }_{ij}={\Pi }_i\sigma {\lambda }_j:M_j\to M_i$.

定理 7.1. 设 $M=M_1\oplus \cdots \oplus M_m$ ($R$-模) . 则 $\mathrm{Mat}$ 确定了一个环同构$$\mathrm{Mat}:{\mathrm{End}}_R(M)\to \{[{\sigma }_{ij}]\mid {\sigma }_{ij}:M_j\to M_i\},$$定义为$$\mathrm{Mat}:\sigma \mapsto \mathrm{Mat}(\sigma )=[{\sigma }_{ij}],$$其中 ${\sigma }_{ij}={\Pi }_i\sigma {\lambda }_j$.

证明. 设 $\psi :M\to M$ 且 $\mathrm{Mat}(\psi )=[{\psi }_{ij}]$. 由于$$(\sigma +\psi {)}_{ij}={\Pi }_i(\sigma +\psi ){\lambda }_j={\Pi }_i\sigma {\lambda }_j+{\Pi }_i\psi {\lambda }_j={\sigma }_{ij}+{\psi }_{ij},$$有$$\mathrm{Mat}(\sigma +\psi )=\mathrm{Mat}(\sigma )+\mathrm{Mat}(\psi ).$$而$$\begin{array}{rl}(\sigma \psi {)}_{ij}& ={\Pi }_i(\sigma \psi ){\lambda }_j\\ & ={\Pi }_i\sigma \left(\sum _k{\lambda }_k{\Pi }_k\right)\psi {\lambda }_j\\ & =\sum _k({\Pi }_i\sigma {\lambda }_k)({\Pi }_k\psi {\lambda }_j)\\ & =\sum _k{\sigma }_{ik}{\psi }_{kj},\end{array}$$表明 $\mathrm{Mat}(\sigma \psi )=\mathrm{Mat}(\sigma )\mathrm{Mat}(\psi )$. 这说明 $\mathrm{Mat}$ 是环同态. 其双射性易证.

$\square$

我们按以下方式应用定理 7.1. 由于 $R$ 有限, 易证存在分解$${}_{R}R=L_1\oplus \cdots \oplus L_n,$$其中 $L_i$ 为不可分解左理想. 根据 Krull–Schmidt 定理, 此分解在同构意义下唯一. 而$${\mathrm{End}}_R{(}_{R}R)=R^{\text{op}}\text{（作为环）},$$其中 $R^{\text{op}}$ 表示 $R$ 的反环. 另一方面, 由定理 7.1, ${\mathrm{End}}_R{(}_{R}R)$ 同构于矩阵环 $[{\sigma }_{ij}]$, 其中 ${\sigma }_{ij}:L_j\to L_i$ 为 $R$-同态. 由于 $L_i$ 是 ${}_{R}R$ 的直和项 (即 $R$ 的分量) , 故 $L_i=R{e}_i$ 由幂等元 $e_i$ 生成. 因此, 对于幂等元 $e$ 和 $f$, 我们需要研究 ${\mathrm{Hom}}_R(Re,Rf)$.

设 $M$ 为左 $R$-模, $e$ 为 $R$ 的幂等元. 若 $\rho :Re\to M$ 为 $R$-同态, 则存在 $m\in M$ 使得 $\rho (e)=m$. 由于 $e^2=e$, 我们有 $m=em$, 因为 $\rho (e)=\rho (e^2)=e\rho (e).$ 对任意 $r\in Re$, 有 $r=re$, 因此$$\rho (r)=\rho (re)=r\rho (e)=rem.$$

将 $\rho$ 记为 ${\rho }_{em}$, 映射 ${\rho }_{em}\mapsto em$ 给出了$${\mathrm{Hom}}_R(Re,M)\to eM.$$

反之, 给定 $em\in eM$, 映射 $e\mapsto em$ 确定了一个 $R$-同态$${\rho }_{em}:Re\to M,$$定义为 ${\rho }_{em}(r)=rem$. 注意到这是良定义的, 因为若 $r_1=r_2$ ($r_i\in Re$) , 则 $r_{1}e=r_{2}e$ 且 $r_{1}em=r_{2}em$. 这给出了自然映射$$\beta :eM\to {\mathrm{Hom}}_R(Re,M),$$定义为 $\beta :em\mapsto {\rho }_{em}$.

显然这些映射是双射且加性的. 因此$${\mathrm{Hom}}_R(Re,M)\cong eM\text{（作为加法群）}.$$

定理 7.2. 设 $e$ 和 $f$ 是环 $R$ 中的幂等元, $M$ 为左 $R$-模, 则:

(a)	${\mathrm{Hom}}_R(Re,M)\cong eM$ (作为加法群) .
(b)	${\mathrm{Hom}}_R(Re,Rf)\cong eRf$ (作为加法群) . 进一步, $Re$ 与 $Rf$ 作为 $R$-模同构当且仅当存在 $c\in eRf$ 和 $d\in fRe$ 使得$$cd=e\text{且}dc=f.$$ 因此, 由对称性, $Re\cong Rf$ (作为 $R$-模) 当且仅当 $eR\cong fR$ (作为 $R$-模) .
(c)	${\mathrm{End}}_R(Re)=(eRe{)}^{\text{op}}$ (作为环) .
(d)	若 $S$ 是 $R$ 的右理想, 则 $R$-同构 $Re\to Rf$ 将 $S\cap Re$ 映射到 $S\cap Rf$.

证明. (a) 已证. 设 $\rho :Re\to Rf$ 是一个 $R$-同构, 则存在 $c\in eRf$ 使得 $\rho ={\rho }_c$. 取 $d\in Re$ 满足 ${\rho }_c(d)=f$, 则 $f={\rho }_c(d)=dc$. 由于 $\rho (e)=c$, 故 ${\rho }^{-1}(c)=e$. 而 ${\rho }^{-1}(f)=d$, 因此 $d\in fRe$ 且 $e={\rho }^{-1}(c)={\rho }^{-1}(cf)=c{\rho }^{-1}(f)=cd$.

反之, 若 $cd=e$ 且 $dc=f$, 可设 $c\in eRf$, $d\in fRe$, 因为$$(ecf)(fde)=ecfde=ecdcde=e^4=e,$$类似地有 $(fde)(ecf)=f$. 由 $cd=e$ 和 $dc=f$ 易见$$Re\to Rf\text{定义为}x\mapsto xc$$和$$Rf\to Re\text{定义为}y\mapsto yd$$均为 $R$-同构.

定理其余部分的证明是直接的.

$\square$

我们关注一个特殊情形: 设$${}_{R}R=L_1\oplus \cdots \oplus L_n,$$其中 $L_i$ 为左理想且对所有 $i,j$ 有 $L_i\cong L_j$ (作为 $R$-模) .

则 $L_i=R{e}_i$ ($1\le i\le n$) , 且 $\{e_i\}$ 是正交幂等元. 若取 $e$ 为某个 $e_i$, 则存在 $c_j$ 和 $d_j$ 使得$$c_j{d}_j=e\text{且}{d}_j{c}_j=e_j$$对每个 $j$ ($1\le j\le n$) 成立.

由 $\{e_i\}$ 的正交性, $$eR=eR{e}_1\oplus \cdots \oplus eR{e}_n$$(作为左 $eRe$-模) . 进一步, 映射$$er{e}_j\mapsto er{e}_j{d}_j=er{d}_j{c}_j{d}_j=er{d}_{j}e$$显然是 $eRe$-同构 $eR{e}_j\to eRe$. 因此, $eR$ 是 $eRe$ 上的自由模, 具有 $n$ 个生成元.

定理 7.3. 设$${}_{R}R=L_1\oplus \cdots \oplus L_n,$$其中 $L_i$ 为左理想且对所有 $i,j$ 有 $L_i\cong L_j$ (作为左 $R$-模) . 则存在幂等元 $e_i$ 使得 $L_i=R{e}_i$ ($1\le i\le n$) , 且若取 $e$ 为某个 $e_i$, 则:

(a)	$eR$ 是秩为 $n$ 的自由 $eRe$-模.
(b)	$R^{\text{op}}\cong {\mathrm{End}}_R{(}_{R}R)\cong {\mathrm{End}}_{eRe}(eR)$.
(c)	因此, $R^{\text{op}}$ 作为环同构于 $(eRe{)}^{\text{op}}$ 上的 $n\times n$ 矩阵环.

证明是显然的. (注意到 ${\mathrm{End}}_R(⨁Re)\cong M_n((eRe{)}^{\text{op}})\cong {\mathrm{End}}_{eRe}(eR)$. )

本节剩余部分将研究左理想 $Re$ 和环 $eRe$, 其中 $e$ 为幂等元.

定理 7.4. 设 $e$ 为 $R$ 的非零幂等元, 则$$\mathrm{Rad}(eRe)=eRe\cap \mathrm{Rad}(R)=e\mathrm{Rad}(R)e.$$

证明. 我们证明 $\mathrm{Rad}(eRe)\subseteq eRe\cap \mathrm{Rad}(R)\subseteq e\mathrm{Rad}(R)e\subseteq \mathrm{Rad}(eRe)$.

设 $r=ere\in \mathrm{Rad}(eRe)$, $x\in R$. 则 $e-rxe$ 在 $eRe$ 中有逆元 $e-y$, 其中 $y=eye$. 于是 $(e-rxe)(e-y)=e$, 且 $(1-rx)(1-y)=1-rx(1-e)$. 右乘 $1-rx(1-e)$ 得 $1$, 即 $1-rx$ 可逆, 故 $\mathrm{Rad}(eRe)\subseteq eRe\cap \mathrm{Rad}(R)$.

设 $r\in eRe\cap \mathrm{Rad}(R)$, 则 $r=ere$ 且 $r\in \mathrm{Rad}(R)$, 即$$eRe\cap \mathrm{Rad}(R)\subseteq e\mathrm{Rad}(R)e.$$

最后, 设 $r\in e\mathrm{Rad}(R)e$, 则 $r\in \mathrm{Rad}(R)$. 对任意 $x=exe\in eRe$, 元素 $1-rx$ 在 $R$ 中有逆元 $1-y$. 于是在 $eRe$ 中, $$(e-rx)(e-eye)=e(1-rx)(1-y)e=e,$$故 $e\mathrm{Rad}(R)e\subseteq \mathrm{Rad}(eRe)$.

$\square$

定理 7.5. 设 $L$ 为 $R$ 的非幂零左理想, 则 $L$ 包含非零幂等元.

证明. 对 $L$ 的阶 $|L|$ 进行归纳. 若 $|L|=2$, 结论显然. 假设定理对所有阶小于 $n$ 的左理想成立.

设 $|L|=n$. 若存在 $a\in L$ 使得 $La=L$, 则由 $L$ 有限性, 对任意 $x\in L$, $xa=0$ 仅当 $x=0$. 同时存在 $e\in L\setminus \{0\}$ 使得 $ea=a$. 于是 $(e^2-e)a=0$, 故 $e^2-e=0$.

若 $|La|<|L|$, 由归纳假设, $La$ 或为幂零, 或包含幂等元. 若对所有 $a\in L$, $La$ 幂零, 则 $L$ 中每个元素均为幂零元.

我们断言: 若 $L$ 中每个元素幂零, 则 $L$ 幂零. 假设 $L$ 不幂零, 取 $L$ 中最小的非幂零左理想 $J$. 则 $J^2\subseteq J$ 且 $J^2$ 不幂零, 故 $J^2=J$. 再取 $R$ 的满足 $JH\ne 0$ 的最小左理想 $H$ , 并取 $h\in H$ 使得 $Jh\ne 0$. 于是 $J(Jh)=Jh\ne 0$ 且 $Jh\subseteq H$, 故 $Jh=H$. 最后取 $t\in J$ 使得 $th=h$, 则对任意正整数 $m$ 有$$t^{m}h=t^{m-1}h=\cdots =th=h\ne 0.$$但 $t\in J\subseteq L$ 是幂零的, 与 $h\ne 0$ 矛盾. 因此 $L$ 幂零, 与原假设矛盾.

$\square$

类似论证可证明以下推论.

推论 7.6. 设 $L$ 为 $R$ 的极小左理想, 则 $L^2=0$ 或 $L=Re$, 其中 $e$ 为 $R$ 的幂等元.

定理 7.7. 以下条件等价:

(a)	$R$ 是局部环.
(b)	$R$ 不含非平凡幂等元.

证明. (a) 推 (b) 显然. 假设 (b) 成立, 设 $a\in R$ 且 $a\notin \mathrm{Rad}(R)$, 则 $Ra$ 不幂零, 故 $Ra$ 包含幂等元 $e$. 由 (b), $e=1$, 于是存在 $b\in R$ 使得 $ba=1$, 因此 $R/\mathrm{Rad}(R)$ 是有限域.

$\square$

对幂等元 $e$ 和 $f$, 若 $ef=fe=f$, 则记 $e\ge f$; 等价地, $f\in eRe$. 若 $B(R)$ 表示 $R$ 的所有幂等元, 则 $B(R)$ 在 $\ge$ 下构成偏序集, 最小元为 $0$, 最大元为 $1$. 关于 $\ge$ 的极小非零幂等元称为极小幂等元.

定理 7.8. 设 $e$ 为 $R$ 的非零幂等元.

(a)	以下条件等价: (1) $e$ 是极小的. (2) $eRe$ 是局部环. (3) $Re$ 不可分解.
(b)	若 $\mathrm{Rad}(R)=0$, 则以下条件等价: (1) $Re$ 是极小左理想. (2) $eRe$ 是有限域.

证明. (a) 中 (1) 与 (2) 等价显然. 证 (3) 推 (2): 设 $Re$ 不可分解且 $eRe$ 非局部, 取 $f\in eRe$ 为非零幂等元且 $f\ne e$, 则 $f$ 与 $e-f$ 是 $eRe$ 中正交幂等元且和为 $e$, 故 $Re$ 可分解, 矛盾.

证 (2) 推 (3): 设 $eRe$ 局部. 假设 $e=e_1+e_2$ 且 $e_1{e}_2=0$, $e_i\ne 0$. 则 $e=e^2=e{e}_1+e{e}_2$, 减去 $e=e_1+e_2$ 得 $e_1+e_2-e{e}_1-e{e}_2=0$, 故 $e_1,e_2\in eR\cap Re=eRe$, 与 $eRe$ 局部性矛盾.

(b) 若 $Re$ 极小, 由 Schur 引理知 ${\mathrm{End}}_R(Re)=eRe$ 是除环 (从而是有限域) . 反之, 设 ${\mathrm{End}}_R(Re)=eRe$ 是有限域, 取 $r\in R$ 使得 $re\ne 0$, 考虑理想 $Rre$. 由于 $\mathrm{Rad}(R)=0$, 有 $(re)R(re)\ne 0$, 故存在 $s$ 使得 $esre\ne 0$. 而 $esre\in eRe$ 可逆, 设其逆为 $ete\in eRe$, 则 $((ete)es)re=e$, 故 $Re\subseteq Rre$, 显然 $Rre\subseteq Re$, 因此 $Re=Rre$ 是极小的.

$\square$

定理 7.9. 设 $e$ 为 $R$ 的极小非零幂等元, $\pi :R\to R/\mathrm{Rad}(R)$ 为自然同态, 则 $\pi (Re)$ 是极小左理想.

证明. 考虑 $\pi (R(1-e))$, 这是 $R/\mathrm{Rad}(R)$ 的真理想, 故包含于某个极大左理想 $\pi (M)$ 中. 假设 $\pi (M)\cap \pi (Re)\ne 0$, 则 $(\pi (M)\cap \pi (Re){)}^2\ne 0$, 存在 $r\in R$ 使得 $\pi (re)\in \pi (M)$ 且 $\pi (ere)\ne 0$. 由于 $\pi (eRe)=eRe/\mathrm{Rad}(eRe)$ 且 $eRe$ 局部, $\pi (eRe)$ 是有限域, 故存在 $\pi (x)$ 使得 $\pi (xere)=\pi (e)$, 于是 $\pi (e)\in \pi (M)$, 从而 $e\in M$, 而 $1=e+(1-e)\in M$, 矛盾. 因此 $\pi (M)\cap \pi (Re)=0$, 即 $\pi (Re)$ 是极小的.

$\square$

设 ${}_{R}R=R{e}_1\oplus \cdots \oplus R{e}_n$, 其中 $R{e}_i$ 为不可分解左理想. 令$$N_i=R{e}_i\cap \mathrm{Rad}(R),$$则 $N_i$ 是 $R{e}_i$ 的极大子模, 因为 $R{e}_i/\mathrm{Rad}(R)$ 是极小理想.

定理 7.10. 设 ${}_{R}R=R{e}_1\oplus \cdots \oplus R{e}_n$, 其中 $R{e}_i$ 不可分解. 令 $N_i=R{e}_i\cap \mathrm{Rad}(R)$, 则 $R{e}_i\cong R{e}_j$ 当且仅当 $R{e}_i/N_i\cong R{e}_j/N_j$.

证明. 若 $R{e}_i\cong R{e}_j$, 结论显然. 反之, 设同构 $\omega :R{e}_i/N_i\to R{e}_j/N_j$, 并令 ${\pi }_i:R{e}_i\to R{e}_i/N_i$. 考虑下图: $$R{e}_{i}R{e}_{j}R{e}_j/N_{j}0(\text{行正合}).\omega {\pi }_i{\pi }_j$$由于 $R{e}_i$ 是投射模, 存在 $\varphi :R{e}_i\to R{e}_j$ 使得 ${\pi }_j\varphi =\omega {\pi }_i$. 注意到 $\omega {\pi }_i\ne 0$, 故 ${\pi }_j\varphi \ne 0$. 因此 $\varphi (R{e}_i)⊈\ker {\pi }_i=N_i$. 但 $\varphi (R{e}_i)=R{e}_j$, 由对称性可得 $R{e}_i\cong R{e}_j$.

$\square$

为结束对幂等元的讨论, 我们说明如何从 $R/\mathrm{Rad}(R)$ 的幂等元提升到 $R$ 的幂等元. 称 $u$ 是模去 $\mathrm{Rad}(R)$ 的幂等元, 若 $u^2-u\in \mathrm{Rad}(R)$; 若存在幂等元 $e\in R$ 满足 $e-u\in \mathrm{Rad}(R)$, 则称 $u$ 可提升.

设 $u$ 是模去 $\mathrm{Rad}(R)$ 的幂等元, 令 $x_1=u^2-u$. 若 $x_1=0$, 则 $u$ 已是幂等元. 否则, 定义$$e_1=u+x_1-2u{x}_1,$$此时 $e_1^2-e_1=4x_1^3-3x_1^2=x_1^2(4x_1-3)$. 由于 $x_1\in \mathrm{Rad}(R)$ 幂零, 且 $e_1\equiv u(\mathrm{mod}\mathrm{Rad}(R))$, 可重复此过程直至得到幂等元 $e$ 满足 $e\equiv u(\mathrm{mod}\mathrm{Rad}(R))$.

定理 7.11. 模去根的幂等元可提升.

设 $S=R/\mathrm{Rad}(R)$, 则 ${}_{S}S$ 分解为不可分解理想的直和: $${}_{S}S={\overline{L}}_1\oplus \cdots \oplus {\overline{L}}_n.$$由于 $\mathrm{Rad}(S)=0$, 有 ${\overline{L}}_i\cap \mathrm{Rad}(S)=0$, 故 ${\overline{L}}_i$ 是极小的. 因此存在分解$${}_{S}S=S{\overline{e}}_1\oplus \cdots \oplus S{\overline{e}}_n,$$其中 ${\overline{e}}_i$ 是极小的两两正交幂等元, 且 ${\overline{e}}_1+\cdots +{\overline{e}}_n=\overline{1}$.

定理 7.12. 设 $S=R/\mathrm{Rad}(R)$ 分解为$${}_{S}S=S{\overline{e}}_1\oplus \cdots \oplus S{\overline{e}}_n,$$其中 ${\overline{e}}_i$ 是极小的两两正交幂等元. 则存在分解$${}_{R}R=R{e}_1\oplus \cdots \oplus R{e}_n,$$其中 $e_i$ 是局部的两两正交幂等元, 且 $e_i\equiv {\overline{e}}_i(\mathrm{mod}\mathrm{Rad}(R))$. 反之, ${}_{R}R$ 的以上形式的分解也导出 ${}_{S}S$ 的相应分解.

注. 下述证明还表明, 若在 $R/\mathrm{Rad}(R)$ 中有 $1={\overline{e}}_1+\cdots +{\overline{e}}_n$ (${\overline{e}}_i$ 是两两正交的幂等元) , 则在 $R$ 中有 $\overline{1}=e_1+\cdots +e_n$, 其中 $e_i$ 是两两正交的幂等元且 $e_i\equiv {\overline{e}}_i(\mathrm{mod}\mathrm{Rad}(R))$.

证明. 使用归纳法. 假设已从 ${\overline{e}}_1,\dots ,{\overline{e}}_{s-1}$ 得到局部的两两正交幂等元 $e_1,\dots ,e_{s-1}$. 令 $f=e_1+\cdots +e_{s-1}$, 并设$$\lambda =(1-f)u(1-f),$$其中 $u\in R$ 满足 $u\equiv {\overline{e}}_s(\mathrm{mod}\mathrm{Rad}(R))$. 则 $\lambda \equiv {\overline{e}}_s(\mathrm{mod}\mathrm{Rad}(R))$, 且对 $i<s$ 有 $e_i\lambda =\lambda e_i=0$. 若 $\lambda$ 是幂等元, 则完成; 否则, 令 $x_1={\lambda }^2-\lambda \in \mathrm{Rad}(R)$, 重复 7.11 前的步骤, 最终得到幂等元 $e_s$ 满足 $e_s\equiv {\overline{e}}_s(\mathrm{mod}\mathrm{Rad}(R))$ 且对 $i<s$ 有 $e_s{e}_i=e_i{e}_s=0$. 易见 $e_s$ 不可分解 (故局部) , 且如果 $1={\overline{e}}_1+\cdots +{\overline{e}}_n$, 则 $1=e_1+\cdots +e_n$.

$\square$

在定理 7.1 后曾指出, 由 Krull–Schmidt 定理, 分解 ${}_{R}R=R{e}_1\oplus \cdots \oplus R{e}_n$ ($e_i$ 局部) 在同构意义下唯一. 若不使用该定理, 当 $R$ 半单 (即 $\mathrm{Rad}(R)=0$) 时, 可直接证明 ${}_{R}R$ 唯一分解为极小左理想的直和. 我们说明这足以证明任意环 $R$ 的分解的唯一性. 故我们给出了 Krull–Schmidt 定理的第二种证明.

定理 7.13. 设 $1={\sum }_{i=1}^m{e}_i$ 和 $1={\sum }_{j=1}^n{f}_j$, 其中 $e_i$ 与 $f_j$ 是局部的两两正交幂等元. 则 $m=n$, 且存在单位元 $v\in R$ 和置换 $p:\{1,\dots ,m\}\to \{1,\dots ,m\}$ 使得 $v{e}_i{v}^{-1}=f_{p(i)}$ ($1\le i\le m$) .

证明. 设自然同态 $R\to R/\mathrm{Rad}(R)=S$ 将 $r$ 映为 $\overline{r}$. 由后续章节 (?) 知 ${\sum }_{i=1}^{m}S{\overline{e}}_i={\sum }_{j=1}^{n}S{\overline{f}}_j$ 且 $m=n$. 进一步, 存在置换 $p$ 使得 $S{\overline{e}}_i=S{\overline{f}}_{p(i)}$. 由 7.10, $R{e}_i\cong R{f}_{p(i)}$. 根据 7.2, 存在 $v_i$ 和 $w_i$ 满足 $w_i{v}_i=e_i$ 且 $v_i{w}_i=f_{p(i)}$. 定义$$v=\sum _{i=1}^n{f}_{p(i)}{v}_i{e}_i,w=\sum _{j=1}^n{e}_j{w}_j{f}_{p(j)},$$则 $vw=wv=1$, 且 $v{e}_j=f_{p(j)}v$.

$\square$

推论 7.14. 设 ${}_{R}R={⨁}_{i=1}^m{L}_i$ 和 ${}_{R}R={⨁}_{j=1}^n{N}_j$, 其中 $L_i$ 和 $N_j$ 是不可分解左理想. 则 $m=n$, 且适当重排后有 $L_i\cong N_i$ (作为 $R$-模) 对 $1\le i\le m$ 成立.