5. 中山引理与局部环

本节从一个特别有用的结果——中山引理——开始. 该定理的多种形式和应用会在本讲义中反复出现.

本节定义了局部环, 并证明了局部环上的投射模是自由模. 这一结果为局部环上矩阵环中幂等元的形式提供了一个简单而具有启发性的例子. 此例子开启了关于幂等元的章节. 局部环在有限环的结构理论中多次出现. 例如, 我们将在下一节中证明, 任何有限交换环都可以唯一地表示为交换局部环的直和. 随后, 我们将证明任何有限环都是局部环上矩阵环子环的同态像.

一个环 $R$ 称为:

(1)	局部环或完全准素环, 若 $R/\text{Rad}(R)$ 是一个有限域;
(2)	半局部环或准素环, 若 $R/\text{Rad}(R)$ 是一个有限域上的完全矩阵环;
(3)	基本环, 若 $R/\text{Rad}(R)$ 是有限域的直和.

以下定理是直接的:

定理 5.1. 以下条件等价:

(1)	$R$ 是局部环.
(2)	$R$ 恰好有一个极大右 (或左) 理想.
(3)	$R$ 中的非单位元包含在一个真理想中.
(4)	$R$ 中的非单位元构成一个右 (或左) 理想.
(5)	$R$ 中的非单位元构成一个加法 Abel 群.
(6)	对任意 $r\in R$, $r$ 或 $1+r$ 是单位元.

证明. $(1)⟹(2)$. 由 $R/\mathrm{Rad}(R)$ 为域知, $\mathrm{Rad}(R)$ 以外的元素都可逆.

$(2)⟹(3)$. 有限环任意非单位元都没有右逆, 因而都在这个极大右理想中.

$(3)⟹(4)$.

$\square$

局部环的例子包括:

(1)	任何有限域;
(2)	${\mathbb{Z}}_{p^n}$ ($p$ 为素数) ;
(3)	矩阵环$$\left\{\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 0& a& d\\ 0& 0& a\end{array}\right)|a,b,c,d\in {\mathbb{Z}}_p\right\}.$$

前两个例子是交换环, 而最后一个是非交换环. 要求 $R$ 是局部环比要求 $R$ 有唯一的极大双边理想更强. 例如, 设 $S={\mathbb{Z}}_{p^n}$ ($p$ 为素数) , $R=M_n(S)$ 为 $S$ 上的 $n\times n$ 矩阵环 ($n\ge 2$) . 则 $R$ 有唯一的极大双边理想$$\mathfrak{m}=M_n(p\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}),$$但$$R/\mathfrak{m}=M_n(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})/M_n(p\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})=M_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}).$$因此, $R$ 是半局部环, 但不是局部环.

定理 5.2 (中山引理). 对于环 $R$ 的左理想 $J$, 以下条件等价:

(a)	$J\subseteq \text{Rad}(R)$.
(b)	设 $M$ 为有限生成 $R$-模. 若 $JM=M$, 则 $M=0$.
(c)	设 $M$ 为有限生成 $R$-模, $N$ 为 $M$ 的子模. 若 $M=N+JM$, 则 $M=N$.
(d)	$1+J$ 是 $R$ 的单位群 $R^{\times }$ 的子群.

证明. 显然 (a) 和 (d) 等价. 首先证明 (a) 蕴含 (b). 假设 $M\ne 0$, 选取 $M$ 的极小生成集 $\{m_1,\dots ,m_n\}$. 若 $JM=M$, 则$$J{m}_1+\cdots +J{m}_n=R{m}_1+\cdots +R{m}_n.$$特别地, 存在 $s_i\in J$ 和 $r_i\in R$ 使得$$s_1{m}_1+\cdots +s_n{m}_n=m_1+r_2{m}_2+\cdots +r_n{m}_n.$$于是$$(1-s_1)m_1=(s_2-r_2)m_2+\cdots +(s_n-r_n)m_n.$$由于 $s_1\in J$, $1-s_1$ 可逆, 故 $m_1$ 可由 $m_2,\dots ,m_n$ 生成, 这与 $n$ 的最小性矛盾.

接下来证明 (b) 蕴含 (c). 注意到 $J(M/N)=(JM+N)/N=M/N$, 应用 (b) 得 $M/N=0$, 即 $M=N$.

最后证明 (c) 蕴含 (d). 取 $s\in J$, 设 $r=1+s$. 则 $R=J+Rr$. 由 (c) 知 $Rr=R$, 故 $r$ 为单位元.

$\square$

值得注意的是, 中山引理为 $\text{Rad}(R)$ 的幂零性提供了简单证明. 由于 $R$ 有限, 存在 $n$ 使得$$\text{Rad}(R{)}^n=\text{Rad}(R{)}^{n+1}.$$令 $M=\text{Rad}(R{)}^n$, 则 $\text{Rad}(R)M=M$, 由 (b) 知 $M=0$.

设 $R$ 为交换环, $A$ 为 $R$-代数 ¹且作为 $R$-模有限生成. 对 $R$ 的理想 $J$, 定义$$JA=\left\{\sum _{i=1}^n{r}_i{a}_i\mid r_i\in J,a_i\in A,n\text{有限}\right\}.$$令 $\bigcap (\mathfrak{m}A)$ 表示所有极大理想 $\mathfrak{m}$ 对应的 $\mathfrak{m}A$ 的交.

推论 5.3. 设 $R$ 为交换环, $A$ 为 $R$-代数且作为 $R$-模有限生成. 则:

(a)	$$\text{Rad}(R)A\subseteq \bigcap (\mathfrak{m}A)\subseteq \text{Rad}(A).$$
(b)	存在整数 $n$ 使得$$\text{Rad}(A{)}^n\subseteq \bigcap (\mathfrak{m}A).$$
(c)	若 $A$ 为投射 $R$-模, 则$$\text{Rad}(R)A=\bigcap (\mathfrak{m}A).$$

证明. 显然 $\text{Rad}(R)A\subseteq \bigcap (\mathfrak{m}A)$, 因为对 $R$ 的每个极大理想 $\mathfrak{m}$, 有 $\text{Rad}(R)A\subseteq \bigcap \mathfrak{m}A$.

为证明第二个包含关系, 假设 $\bigcap (\mathfrak{m}A)⊈\text{Rad}(A)$, 则存在 $A$ 的极大左理想 $M$ 使得对 $R$ 的每个极大理想 $\mathfrak{m}$, 有 $\mathfrak{m}A+M=A$. 于是 $M=A$, 矛盾.

(b) 的结论是显然的, 因为 $\text{Rad}(A)$ 是幂零的.

为证明 (c), 注意到若 $A$ 作为 $R$-模是自由的, 则 $\text{Rad}(R)A=\bigcap (\mathfrak{m}A)$. 再利用投射模是自由模的直和因子这一事实即可.

$\square$

我们注意到, 若对 $R$ 的每个极大理想 $\mathfrak{m}$, 作为 $R/\mathfrak{m}$-代数有 $\text{Rad}(A/\mathfrak{m}A)=0$, 则 $\text{Rad}(A)\subseteq \mathfrak{m}A$, 从而$$\text{Rad}(A)=\bigcap (\mathfrak{m}A).$$

定理 5.4. 设 $R$ 为局部环, 极大理想为 $\mathfrak{m}$. 则每个有限生成投射 $R$-模都是 $R$-自由模.

证明. 设 $M$ 为 $R$-投射模, 具有极小生成集 $\{a_1,\dots ,a_n\}$. 令 $F$ 为自由 $R$-模, 自由基为 $\{x_1,\dots ,x_n\}$, 并定义 $\sigma :F\to M$ 为 $\sigma (x_i)=a_i$. 我们有以下正合列: $$0⟶N\stackrel{\alpha }{\to }F\stackrel{\sigma }{\to }M⟶0,$$其中 $N=\ker (\sigma )$ (正合意味着 $\alpha$ 为单射, $\text{Im}(\alpha )=\ker (\sigma )$, 且 $\sigma$ 为满射. 其中 $\alpha$ 为包含同态) .

我们断言 $N\subseteq \mathfrak{m}F$. 假设不成立, 则存在 $\sum r_i{x}_i\in N$ 且 $\sum r_i{x}_i\notin \mathfrak{m}F$. 不妨设 $r_1$ 为单位元. 于是$$\sum r_i{a}_i=\sigma \left(\sum r_i{x}_i\right)=0,$$从而$$a_1=-r_1^{-1}\left(\sum _{j=2}^n{r}_j{a}_j\right),$$这与生成集 $\{a_1,\dots ,a_n\}$ 的极小性矛盾.

由于 $M$ 是投射模, $F=N\oplus M^{\prime }$, 其中 $M^{\prime }\cong M$ (作为 $R$-模) . 于是$$F=N+M^{\prime }\subseteq \mathfrak{m}F+M^{\prime }\subseteq F.$$即 $F=\mathfrak{m}F+M^{\prime }$, 由中山引理知 $F=M^{\prime }$. 因此 $M^{\prime }$ 以及 $M$ 是自由模.

$\square$

定理 5.5. 设 $R$ 为局部环, 极大理想为 $\mathfrak{m}$. 设 $M$ 为有限生成 $R$-模.

(a)	子集 $\{u_i{\}}_{i=1}^n\subseteq M$ 是 $M$ 的生成集, 当且仅当它们的剩余类 $\{{\overline{u}}_i{\}}_{i=1}^n$ 生成 $R/\mathfrak{m}$-向量空间 $M/\mathfrak{m}M$.
(b)	子集 $\{u_i{\}}_{i=1}^n\subseteq M$ 是 $M$ 的极小生成集当且仅当 $\{{\overline{u}}_i{\}}_{i=1}^n$ 构成 $M/\mathfrak{m}M$ 的 $R/\mathfrak{m}$-基.
(c)	$M$ 的任何生成集都包含一个极小生成集. 此外, 若 $\{u_1,\dots ,u_n\}$ 和 $\{v_1,\dots ,v_m\}$ 都是 $M$ 的极小生成集, 则 $n=m$, 且存在 $R$ 上的可逆矩阵 $A$ 使得$$A⟨u_1,\dots ,u_n⟩=⟨v_1,\dots ,v_n⟩.$$

证明. 设 $N={\sum }_{i}R{u}_i$, 并应用中山引理即可.

注意到, 若 $R$ 为任意环, $M$ 为有限生成 $R$-模, 则 (同样由中山引理) $\{u_i{\}}_{i=1}^n$ 是 $M$ 的极小生成集当且仅当 $\{u_i{\}}_{i=1}^n$ 的剩余类构成 $M/\text{Rad}(R)M$ 在 $R/\text{Rad}(R)$ 上的极小生成集.

此外, 若 $M$ 是局部环 $R$ 上的自由 $R$-模, 且 $N$ 是 $M$ 的直和因子, 则由 5.4 知 $N$ 是 $R$-自由的, 且由 5.5 知 $N$ 的任何自由 $R$-基可扩展为 $M$ 的自由 $R$-基.

$\square$

1.	^ $A$ 称为 $R$-代数, 若 $A$ 是一个环, 并且 $A$ 具有与环结构兼容的 $R$-模结构.