4. 根

在研究环结构的过程中, 逐渐发展出了多种方法.

如果我们希望构造一个满足特定性质的环 $R$, 可以尝试刻画环 $R$ 的理想或左理想, 然后展示如何通过这些理想来揭示 $R$ 的结构. 或者, 类似地, 我们可以假设 $R$ 的模满足某些性质, 例如要求所有 $R$-模都是自由模或投射模, 并由此推导出 $R$ 的结构.

对于一个任意的有限环 $R$, 我们通常从一个已知的环 $S$ 出发, 例如矩阵环或多项式环. 然后, 以下四种方法应运而生:

(1)	将环 $R$ 视为 $S$ 的同态像, 即寻找 $S$ 的理想 $N$ 使得 $R\cong S/N$.
(2)	将 $R$ 嵌入为 $S$ 的子环.
(3)	将 $R$ 分解为 $R=S+N$, 其中 $N$ 是一个较小且更好处理的环.
(4)	寻找 $R$ 的理想 $N$ 使得 $R/N\cong S$.

本节采用第四种方法, 构造环 $R$ 的理想 $N$, 使得商环 $R/N$ 为有限域上矩阵环的直和. 此类问题可归结为线性代数问题, 而非环论问题. 我们将尝试把 $R/N$ 的结构 “提升” 到 $R$ 上. 环论中的问题如果能约化为线性代数问题, 那么通常就认为这个问题解决了. 这一理想 $N$ 称为 $R$ 的根.

和之前一样, $R$ 表示有限结合幺环.

引理 4.1. 若 $a,b\in R$ 满足 $ab=1$, 则 $ba=1$.

证明. 考虑有限降链$$bR\supseteq b^{2}R\supseteq \cdots \supseteq b^{n}R=b^{n+1}R=\cdots .$$若 $b^{n}R=0$, 则 $b^{n}a=0$. 左乘 $a^n$ 得 $a=0$, 矛盾. 故存在 $n$ 使得 $b^{n}R=b^{n+1}R\ne 0$. 于是存在 $x\in R$ 使得 $b^{n+1}x=b^n$. 左乘 $a^n$ 得 $bx=1$. 由 $bx=1$ 可得 $x=a(bx)=a$, 即 $ba=1$.

$\square$

环 $R$ 的根 (记为 $\mathrm{Rad}(R)$) 定义为所有极大右理想的交.

命题 4.2. $\mathrm{Rad}(R)=\{r\in R\mid 1-rs\text{ 可逆},\forall s\in R\}$.

证明. 若 $r\in \mathrm{Rad}(R)$, 则 $r$ 属于每个极大右理想 $M$. 故 $1\notin M+rR$. 同理, 若对 $R$ 的任意右极大理想 $M$ 都有 $1\notin M+rR$, 则 $r\in \mathrm{Rad}(R)$. 故 $r\in \mathrm{Rad}(R)$ 等价于 $1-rs$ 不属于任何极大右理想. 这又等价于 $1-rs$ 右可逆, 因此由 4.1, $1-rs$ 可逆.

$\square$

引理 4.3. 若 $1-rt$ 可逆, 则 $1-tr$ 可逆.

证明. 设 $u$ 为 $1-rt$ 的逆元, 则$$(1-tr)(1+tur)=1+tur-t(1+rtu)r=1.$$故 $1-tr$ 可逆.

$\square$

我们的定义看起来没有左右对称性, 以下命题打消了这一顾虑.

命题 4.4. $\mathrm{Rad}(R)$ 为理想, 且是满足以下条件的最大理想 $K$: 对任意 $r\in K$, $1-r$ 是单位

证明. 由定义知 $\mathrm{Rad}(R)$ 为右理想. 由引理 4.3 知其为左理想. 其余显然.

$\square$

命题 4.5. $\mathrm{Rad}(R)=\bigcap M$, 其中 $M$ 为 $R$ 的极大左理想.

命题 4.6. $\mathrm{Rad}(R/\mathrm{Rad}(R))=0$.

证明. 设 $\pi :R\to R/\mathrm{Rad}(R)$ 为自然同态. 若 $\pi (r)\in \mathrm{Rad}(R/\mathrm{Rad}(R))$, 则 $\pi (r)$ 属于 $R/\mathrm{Rad}(R)$ 的每个极大右理想, 故 $r$ 属于每个包含 $\mathrm{Rad}(R)$ 的极大右理想, 即 $r\in \mathrm{Rad}(R)$, 故 $\pi (r)=0$.

$\square$

若 $\mathrm{Rad}(R)=0$, 则称环 $R$ 为半单环.

命题 4.7. $\mathrm{Rad}(R)$ 为 $R$ 的最大幂零理想, 且包含所有幂零 (左, 右) 理想.

证明. 考虑降链$$\mathrm{Rad}(R)\supseteq (\mathrm{Rad}(R){)}^2\supseteq \cdots .$$设其终止于 $B=(\mathrm{Rad}(R){)}^n$. 则 $B^2=B$. 若 $B\ne 0$, 设 $A$ 是以下集合中的极小元: $\{A是R的左理想|A\subseteq B,BA\ne 0\}$. 则存在 $a\in A$ 使得 $Ba\ne 0$. 则 $Ba\subset A\subset B$ 且 $B(Ba)=B^{2}a=Ba\ne 0$. 故由 $A$ 的极小性, $Ba=A$. 取 $b\in B$ 使得 $ba=a$. 由于 $b\in \mathrm{Rad}(R)$, $1-b$ 可逆, 故 $a=0$, 矛盾. 因此 $B=0$, 即 $\mathrm{Rad}(R)$ 是幂零理想. 幂零理想中的元素都是幂零元, 满足命题 4.4 中的条件. 所以 $\mathrm{Rad}(R)$ 是最大的幂零理想.

$\square$

理想 $P$ 称为素理想, 若满足以下等价条件之一:

(a)	若左 (右或双边) 理想 $A,B$ 满足 $AB\subseteq P$, 则 $A\subseteq P$ 或 $B\subseteq P$.
(b)	若 $a,b\in R$ 满足 $aRb\subseteq P$, 则 $a\in P$ 或 $b\in P$.
(c)	若主左 (右或双边) 理想 $(a),(b)$ 满足 $(a)(b)\subseteq P$, 则 $(a)\subseteq P$ 或 $(b)\subseteq P$.

元素 $a\in R$ 称为强幂零元, 若对任意序列 $a_0,a_1,a_2,\dots$ 满足 $a=a_0$ 且 $a_{n+1}\in a_{n}R{a}_n$, 最终有 $a_n=0$. 注意到若 $a$ 是强幂零元, 则 $a$ 是幂零元; 然而反之不然. 考虑 $M_n({\mathbb{F}}_q)$ 与标准初等矩阵 $E_{in}$. 则 $E_{in}^2=0$, 但容易选出序列 $A_0=E_{in}$; $A_1,A_2,\dots$, 其中 $A_{i+1}\in A_i{M}_n({\mathbb{F}}_q)A_i$ 永不为零.

以下对 $\mathrm{Rad}(R)$ 的刻画留做习题.

命题 4.8.

(a)	$\mathrm{Rad}(R)$ 是使 $R/K$ 仅有零幂零理想的最小理想 $K$.
(b)	$\mathrm{Rad}(R)=\bigcap P$, 其中 $P$ 为 $R$ 的素理想.
(c)	$\mathrm{Rad}(R)=\{r\in R\mid r\text{ 为强幂零元}\}$.