3.3. 投射模

若有限生成 $R$ -模 $F$ 有子集 ${b_{i}}_{i = 1}^{n}$ 使得

(1)	$R b_{i} = {r b_{i} ∣ r \in R} ≅ R$ (作为左 $R$ -模),
(2)	$F = ⨁_{i = 1}^{n} R b_{i}$ ,

则称 $F$ 是 $R$ -自由模. 集合 ${b_{i}}_{i = 1}^{n}$ 称为 $F$ 的自由 $R$ -基.

易得若 $B = {b_{i}}$ 是 $F$ 的自由基而 $M$ 是任意 $R$ -模, 则任意映射 $α : B \to M$ 确定了唯一 $R$ -同态 $α^{*} : F \to M$ . 只需令 $α^{*} (\sum_{i} r_{i} b_{i}) = \sum_{i} r_{i} α (b_{i})$ 即可, 唯一性由直和表示的唯一性得到.

若 $F$ 是自由的, 且有 $R$ -同态的图表 $F M N 0 β α$ 其中 $M ⟶ α N ⟶ 0$ 是正合的, 即 $im (α) = N$ , 则存在同态 $β^{*} : F \to M$ 满足 $α β^{*} = β$ . 对任意 $b \in B$ , $β (b) \in N$ . 故存在 $m_{b} \in M$ , 使得 $α (m_{b}) = β (b)$ . 令 $γ : B \to M$ 为 $b \mapsto m_{b}$ . 则 $γ^{*} = β^{*}$ , 满足 $α β^{*} (b) = α (m_{b}) = β (b)$ .

对左 $R$ -模的正合列 $M ⟶ α N ⟶ 0,$ 若存在 $R$ -同态 $ρ : N \to M,$ 使得 $α ρ = i_{N}$ ( $N$ 上的恒等映射), 则称这个正合列分裂. 若正合列 $M ⟶ α N ⟶ 0$ 分裂, 分裂同态 $ρ : N \to M$ , 则

(1)	$N ≅ Im ρ$
(2)	$im ρ \cap ker α = 0$
(3)	$M = im ρ + ker α$

故 $M = im ρ \oplus ker α$ .

(1) 是因为 $ρ$ 是单射.

(2) $α ρ (x) = 0 ⟺ x = 0 ⟺ ρ (x) = 0$

(3) $x = \in im ρ ρ (α (x)) + \in k e r α (x - ρ (α (x)))$

对有限生成 $R$ -模 $P$ , 如果只要 $P M N 0 (行正合) β α$ 就存在 $R$ -同态 $β^{*} : P \to M$ 使得 $α β^{*} = β$ , 则称 $P$ 为 $R$ -投射模. 显然自由 $R$ -模是投射模.

定理 3.3.1. 设 $P$ 是有限生成 $R$ -模. 以下命题等价.

(1)	$P$ 是投射模.
(2)	任意正合列 $M \to P \to 0$ 都分裂.
(3)	$P$ 是某个自由 $R$ -模的直和项.

证明. $(1) ⟹ (2)$ . 若 $P$ 是投射模, 则有以下交换图 $P M P 0 id_{P} id_{P}^{*} α$ 故 $α id_{P}^{*} = id_{P}$ .

$(2) ⟹ (3)$ . 取 $P$ 的生成元集 $S$ , 定义自由模 $M = ⨁_{s \in S} R s$ . 令 $α (r_{1} s_{1}, \dots, r_{n} s_{n}) = r_{1} s_{1} + \dots + r_{n} s_{n}$ . 由于 $M ⟶ α P ⟶ 0$ 分裂, 故 $M = im ρ \oplus ker α ≅ P \oplus ker α$ .

(3) ⟹ (1)

. 设

P

是自由模

F

的直和项,

F = P \oplus K

. 有以下交换图

F P M N 0 β^{'} π i β^{*} β α

则

α β^{'} = β π

. 令

β^{*} = β^{'} i

. 则

α β^{*} = α β^{'} i = β πi = β

.

$□$

我们主要在以下情况中使用定理 3.3.1: 设 $R$ 是环且 $L$ 是 $R$ 的左理想. 若 $L$ 是 $_{R} R$ 的直和项, 即 $_{R} R = L \oplus L^{'}$ , 则 $L$ 是 $R$ -投射模.

有限环上的投射模会在第 13 中刻画.

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