3.2. Jordan–Hölder 定理与 Krull–Schmidt 定理

再次强调 “环” 默认指有限环. 本节考察有限环 $R$ 上的有限生成模. 由于模本身有限, 其子模自然满足升链与降链条件.

问题 I: 若 $M$ 为有限生成 $R$-模, 则可在零模与 $M$ 之间构造子模链: $$0=M_0\subset M_1\subset \cdots \subset M_m=M$$其中 $M_i$ 互异. 通过插入中间子模至无法再细化, 可得到 “极大链”. 此类链长度有限, 我们关注其唯一性.

设 $M$ 为有限生成 $R$-模. 其长度为 $m$ 的正规链指满足 $M_i\ne M_{i+1}$ 的子模链: $$0=M_0\subset M_1\subset \cdots \subset M_m=M.$$若另一正规链$$0=N_0\subset N_1\subset \cdots \subset N_n=M$$的每个 $M_i$ 均为某个 $N_j$, 则称其为原链的细化. 商模 $M_i/M_{i-1}$ 称为链的合成因子. 两链等价当且仅当 $m=n$, 且存在置换 $\sigma$ 使得$$M_{i+1}/M_i\cong N_{\sigma (i)+1}/N_{\sigma (i)}.$$

定理 3.2.1 (Schreier). 有限生成 $R$-模的任意两条正规链均有等价细化.

证明. 我们有$$\begin{array}{rl}{M}_i& =M_{i-1}+M_i\cap N_n\\ & \supseteq M_{i-1}+M_i\cap N_{n-1}\\ & \supseteq M_{i-1}+M_i\cap N_{n-2}\\ & \cdots \\ & \supseteq M_{i-1}+M_i\cap N_0=M_{i-1}\end{array}$$令 $M_{i,j}=M_{i-1}+M_i\cap N_j$, 则这是链 $\{M_i\}$ 的细化. 同理, $N_{i,j}=N_{j-1}+M_i\cap N_j$ 是链 $\{N_j\}$ 的细化. 由 Zassenhaus 引理 (见注 3.2.8)$$\frac{M_{i,j}}{M_{i,j-1}}=\frac{M_{i-1}+M_i\cap N_j}{M_{i-1}+M_i\cap N_{j-1}}\cong \frac{N_{j-1}+M_i\cap N_j}{N_{j-1}+M_i\cap N_{j-1}}=\frac{N_{i,j}}{N_{i-1,j}}$$

$\square$

正规链 $0=M_0\subset M_1\subset \cdots \subset M_m=M$ 若不能进一步细化, 则称为合成链. 以下结果是 3.2.1 的简单推论.

定理 3.2.2 (Jordan–Hölder). 设$$\begin{gathered} 0=N_0\subset N_1\subset \cdots \subset N_n=M, \\ 0=M_0\subset M_1\subset \cdots \subset M_m=M \end{gathered}$$为有限生成模 $M$ 的两条合成链. 则 $m=n$, 且存在置换 $\sigma$ 使得$$M_{i+1}/M_i\cong N_{\sigma (i)+1}/N_{\sigma (i)}(0\le i\le m-1).$$

若有限生成模 $M$ 可分解为非零子模的直和 $M=N\oplus P$, 则称 $M$ 为可分解模, 否则称为不可分解模.

问题 II: 有限生成模 $M$ 可逐步分解为不可分解子模的直和: $$M=M_1\oplus \cdots \oplus M_t,$$注意 $|M|=|M_1|\cdots |M_t|$. 我们关注此类分解的唯一性.

模的分解与其 $R$-同态有关. 故我们首先考察有限生成 $R$-模的 $R$-线性映射.

定理 3.2.3. 设 $M$ 为有限生成 $R$-模, $\sigma :M\to M$ 为 $R$-同态. 则以下等价:

(a)	$\sigma$ 为双射,
(b)	$\sigma$ 为单射,
(c)	$\sigma$ 为满射.

证明. 因 $|M|<\infty$, 结论显然.

$\square$

定理 3.2.4 (Fitting 引理). 设 $M$ 为有限生成 $R$-模, $\sigma :M\to M$ 为 $R$-同态. 则存在整数 $n>0$ 及子模 $N,P$ 满足:

(a)	$M=N\oplus P$,
(b)	$N={\sigma }^n(M)$,
(c)	$P={\sigma }^{-n}(0)$.

因此 $\sigma =\sigma {|}_N\oplus \sigma {|}_P$, 其中 $\sigma {|}_N$ 可逆而 $\sigma {|}_P$ 幂零.

证明. 设链 $M\supset \sigma (M)\supset {\sigma }^2(M)\supset \cdots$ 在 $n$ 处停止, 即 ${\sigma }^n(M)={\sigma }^{n+1}(M)$. 故 $\sigma$ 限制到 ${\sigma }^n(M)$ 上是满射, 因此由 3.2.3, $\sigma {|}_{{\sigma }^n(M)}$ 是同构. 令 $N={\sigma }^n(M)$ 且 $P={\sigma }^{-n}(0)$. 显然由于 $\sigma {|}_{{\sigma }^n(M)}$ 是双射, $N\cap P=0$. 要说明 $N+P=M$, 任取 $m\in M$ 并取 $m_1$ 使得 ${\sigma }^n(m)={\sigma }^{2n}(m_1)$. 则 $m={\sigma }^n(m_1)+(m-{\sigma }^n(m_1))\in N+P$.

$\square$

推论 3.2.5. 若 $M$ 为不可分解有限生成 $R$-模, 则其任意 $R$-自同态要么幂零, 要么为自同构.

设 ${\mathrm{End}}_R(M)$ 表示 $R$-同态 $\sigma :M\to M$ 的集合. 则在同态的复合与加法运算下, ${\mathrm{End}}_R(M)$ 是一个环. 假设 $M$ 有限生成且不可分解. 设 ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n\in {\mathrm{End}}_R(M)$ 并假设 ${\sigma }_1+\cdots +{\sigma }_n$ 是自同构. 我们断言存在 $i$ 使得 ${\sigma }_i$ 是自同构. 显然只需说明 $n=2$ 的情况. 故设 $\beta ={\sigma }_1+{\sigma }_2$ 是 $M$ 的自同构. 则 $1={\beta }^{-1}{\sigma }_1+{\beta }^{-1}{\sigma }_2$. 若 ${\beta }^{-1}{\sigma }_1$ 是自同构, 则证明完成. 否则, 由推论 3.2.5, ${\beta }^{-1}{\sigma }_1$ 是幂零的. 则 ${\beta }^{-1}{\sigma }_2=1-{\beta }^{-1}{\sigma }_1$ 是自同构, 因为对幂零元 $\delta$, $1-\delta$ 是可逆的, 逆元为 $(1-\delta {)}^{-1}=1+\delta +{\delta }^2+\cdots$ (有限和).

定理 3.2.6 (Krull-Schmidt). 设有限生成模 $M$ 有两种不可分解直和分解: $$M=M_1\oplus \cdots \oplus M_m=N_1\oplus \cdots \oplus N_n.$$则 $m=n$, 且存在置换 $\sigma$ 使得 $M_i\cong N_{\sigma (i)}$.

证明. 对任意 $i=1,\dots ,m$ 与任意 $j=1,\dots ,n$, 存在自然的 $R$-同态 $p_i:M\to M_i$ 与 $q_j:M\to N_j$, 称为投影. 例如, 若 $x\in M$ 可写为 $x=x_1+\cdots +x_m$, 其中 $x_i\in M_i$, 则 $p_i(x)=x_i$.

我们对直和中的项数做归纳. 注意到若 $x\in M$, 则$$x=\sum _{i=1}^m{p}_i(x)=\sum _{j=1}^n{q}_j(x).$$故 $M$ 上的恒等同态 ${\mathrm{id}}_M={\sum }_{i=1}^m{p}_i$. 则 $q_1={\sum }_{i=1}^m{q}_1{p}_i$. 把这个同态限制到 $N_1$ 上, 我们得 ${\mathrm{id}}_{N_1}={\sum }_{i=1}^m{q}_1{p}_i$. 由于 $N_1$ 不可分解, 由推论 3.2.5 下面的讨论得, 存在 $q_1{p}_i$ 是 $N_1$ 的自同构, 不妨设为 $q_1{p}_1$. 则 $N_1\stackrel{p_1}{\to }{M}_1\stackrel{q_1}{\to }{N}_1$ 是自同构. 故 $p_1$ 和 $q_1$ 都是同构. 特别地, $|M_1|=|N_1|$.

容易看出 $\overline{M}=N_1+M_2+\cdots +M_m$ 是直和. 显然 $\overline{M}\subseteq M$. 但 $|\overline{M}|=|N_1||M_2|\cdots |M_m|=|M_1||M_2|\cdots |M_m|=|M|$, 因为 $N_1\cong M_1$. 故 $\overline{M}=M$. 定义 $\rho :M\to \overline{M}=M$ 为 $\rho =q_1{p}_1+p_2+\cdots +p_m$. 则 $\rho$ 是自同构且 $\rho (M_1)=N_1$. 故 $M/M_1\cong \rho (M)/\rho (M_1)\cong M/N_1$, 即 $M_2\oplus \cdots \oplus M_m\cong N_2\oplus \cdots \oplus N_n$.

$\square$

推论 3.2.7. 若 $M=M_1\oplus \cdots \oplus M_m$ 为不可分解直和分解, 则其任意直和因子 $N$ 同构于某子集 $\{M_1,\dots ,M_m\}$ 的直和.

有限生成不可约模的其他讨论见第 13 章. 对自同态环 ${\mathrm{End}}_R(M)$ 的更详细考察见第 7 章.

注 3.2.8 (Zassenhaus 引理). 设 $N,P,S,T$ 是有限生成 $R$-模 $M$ 的子模. 若 $N\subset P$ 且 $S\subset T$, 则$$\frac{N+(P\cap T)}{N+(P\cap S)}\cong \frac{S+(P\cap T)}{S+(N\cap T)}.$$

证明. 令 $D=N\cap T+P\cap S\subseteq P\cap T$. 定义 $f:N+P\cap T\to P\cap T/D$ 为 $f(a+c)=c+D$, 其中 $a\in N,c\in P\cap T$. 我们首先说明 $f$ 是良定义的. 若 $a_1+c_1=a_2+c_2$, 则 $a_2-a_1=c_2-c_1\in N\cap P\cap T=N\cap T\subseteq D$. 故 $c_1+D=c_2+D$. 而 $f$ 是满射, 因为对任意 $c+D\in P\cap T/D$ 都有 $f(c)=c+D$. 而 $f$ 显然是同态. 由同态基本定理得 $N+P\cap T/\ker f\cong P\cap T/D$. 其中 $\ker f=\{a+c|c\in D\}=N+D=N+P\cap S$. 故 $N+P\cap T/(N+P\cap S)\cong P\cap T/D$. 同理可得 $S+P\cap T/(S+N\cap T)\cong P\cap T/D$. 得证.

$\square$