3.1. 模的预备知识

本小节总结环上模的基本术语与初等性质. 读者可能已接触过环模的概念, 事实上, 多项式环上的模已在第二章讨论过. 因此, 我们的叙述将较为简洁, 更多细节可参考初等代数教材.

设 $R$ 为环, $M$ 为加法交换群. 若对每个 $r\in R$ 和 $m\in M$, 存在唯一元素 $rm\in M$ 满足:

(a)	$r(m+n)=rm+rn$,
(b)	$(rs)(m)=r(sm)$,
(c)	$(r+s)(m)=rm+sm$,
(d)	$1m=m$,

则称 $M$ 为左 $R$-模. 右 $R$-模的定义类似. 为方便起见, 我们将左 (或右) $R$-模简称为 $R$-模, 并常省略前缀 “$R$-”.

设 $M$ 为 $R$-模, $N\subseteq M$. 若 $N$ 为加法子群, 且对任意 $r\in R$ 和 $n\in N$, 有 $rn\in N$, 则称 $N$ 为 $M$ 的 $R$-子模. 若 $N$ 为 $M$ 的子模, 则商群 $M/N$ 构成 $R$-模, 称为商模, 其中运算定义为 $r(m+N)=rm+N$.

若 $\{N_1,\dots ,N_t\}$ 为 $M$ 的一族子模, 则 ${\bigcap }_{i=1}^t{N}_i$ 和 ${\sum }_i{N}_{i=1}^t=N_1+\cdots +N_t=\{n_1+\cdots +n_t\mid n_i\in N_i\}$ 也是 $M$ 的子模. 若 $S\subseteq M$, 则 $⟨S⟩$ 表示包含 $S$ 的最小子模, 称为由 $\mathbf{S}$ 生成的子模. 注意$$⟨S⟩=\bigcap N,$$其中 $N$ 为包含 $S$ 的 $M$ 的子模. 若 $S=\{s_1,\dots ,s_n\}$, 则$$⟨S⟩=\{r_1{s}_1+\cdots +r_n{s}_n\mid r_i\in R\}.$$若 $⟨S⟩=M$, 则称 $M$ 由 $S$ 生成. 若 $M=⟨S⟩$ 且 $S=\{s_1,\dots ,s_n\}$, 记作 $M=R{s}_1+\cdots +R{s}_n$, 并称 $M$ 为有限生成模, 生成元为 $\{s_1,\dots ,s_n\}$. 若 $S=\{s\}$ 且 $M=Rs$, 则称 $M$ 为循环 $R$-模. 若 $M\ne 0$ 且仅有子模 $0$ 和 $M$, 则称 $M$ 为单 $R$-模. 注意单模必为循环模.

注: 我们主要关注有限环上的有限生成模.

设 $M$ 和 $N$ 为 $R$-模, 映射 $\sigma :M\to N$ 称为 $\mathbf{R}$-线性映射或 $\mathbf{R}$-同态, 若满足:

(a)	$\sigma (m_1+m_2)=\sigma (m_1)+\sigma (m_2)$,
(b)	$\sigma (rm)=r\sigma (m)$.

若 $\sigma :M\to N$ 为 $R$-同态, 则:

(a)	核 $\ker (\sigma )=\{m\in M\mid \sigma (m)=0\}$ 为 $M$ 的子模.
(b)	像 $\mathrm{Im}(\sigma )=\{\sigma (m)\mid m\in M\}$ 为 $N$ 的子模.

若 $\mathrm{Im}(\sigma )=N$, 则称 $\sigma$ 为满射 (或满同态); 若 $\ker (\sigma )=0$, 则称 $\sigma$ 为单射 (或单同态); 若两者同时成立, 则称 $\sigma$ 为双射 (或同构). 同构记作 $M\cong N$. 若 $N$ 为 $M$ 的子模, 则存在自然的满 $R$-同态 $M\to M/N$, 定义为 $m\mapsto m+N$.

若 $R$-同态 $\sigma :M\to M$ 将 $M$ 映射到自身, 则称 $\sigma$ 为 $M$ 的自同态. 若 $\sigma$ 为双射, 则称 $\sigma$ 为 $M$ 的自同构. 若存在 $n$ 使得 ${\sigma }^n=0$, 则称 $\sigma$ 为幂零的.

若 $\sigma :M\to M$ 为满 $R$-同态, 则 $N\cong M/\ker (\sigma )$, 且 $N$ 的子模与 $M$ 中包含 $\ker (\sigma )$ 的子模之间存在自然的保序双射.

若 $N$ 和 $P$ 为 $M$ 的子模, 则:

(a)	若 $N\subseteq P\subseteq M$, 则 $M/N\cong (M/P)/(N/P)$.
(b)	$(P+N)/P\cong N/(P\cap N)$.

设 $M$ 为 $R$-模, 则$${\mathrm{Ann}}_R(M)=\{r\in R\mid rm=0\forall m\in M\}$$为 $R$ 的双边理想, 称为 $M$ 的零化子. 对 $m\in M$, $$O(m)=\{r\in R\mid rm=0\}$$称为 $m$ 的阶左理想. 若 $O(m)=0$, 则称 $m$ 为无挠元; 若 $O(m)\ne 0$, 则称 $m$ 为挠元. 若 $M$ 中所有非零元均为挠元 (或无挠元), 则称 $M$ 为挠模 (或无挠模).

若 $M$ 为 $R$-模, $N_1,\dots ,N_t$ 为其子模, 且每个 $m\in M$ 可唯一表示为$$m=n_1+\cdots +n_t(n_i\in N_i),$$则称 $M$ 为 $N_1,\dots ,N_t$ 的 (内) 直和. 等价地, $$M=N_1+\cdots +N_t,$$且$$N_i\cap (N_1+\cdots +N_{i-1}+N_{i+1}+\cdots +N_t)=0(1\le i\le t).$$

若 $N_1,\dots ,N_t$ 为 $R$-模, 则 $t$-元组 $(n_1,\dots ,n_t),n_i\in N_i$ 的集合在分量加法和 $r(n_1,\dots ,n_t)=(r{n}_1,\dots ,r{n}_t)$ 下构成 $R$-模, 称为 $N_1,\dots ,N_t$ 的 (外) 直和.

若 $M$ 为 $N_1,\dots ,N_t$ 的直和, 则记作$$M=\underset{i=1}{\overset{t}{⨁}}{N}_i=N_1\oplus \cdots \oplus N_t.$$

设 $\{M_i\}$ 为一族 $R$-模, $\{{\sigma }_i\}$ 为一族 $R$-同态, 满足 ${\sigma }_i:M_i\to M_{i+1}$. 若对每个 $i$, $$\mathrm{Im}({\sigma }_{i-1})=\ker ({\sigma }_i),$$则称序列$$\cdots \to M_{i-1}\stackrel{{\sigma }_{i-1}}{\to }{M}_i\stackrel{{\sigma }_i}{\to }{M}_{i+1}\to \cdots$$为正合列.

若正合列$$M\stackrel{\sigma }{\to }N\to 0(\text{或}0\to N\stackrel{\sigma }{\to }M)$$存在 $R$-同态 $\beta :N\to M$ (或 $\beta :M\to N$) 使得 $\sigma \beta ={\mathrm{id}}_M$ (或 $\beta \sigma ={\mathrm{id}}_N$), 则称该正合列分裂.