6. 有限交换环的结构定理

本节将证明, 任何有限交换环可以唯一地表示为有限局部交换环的直和.

设 $R$ 为一个环, $A_{1}, \dots, A_{n}$ 为 $R$ 的理想.

若两个理想 $A_{i}$ 与 $A_{j}$ 满足 $A_{i} + A_{j} = R$ , 则称它们互素. 定义环同态 $ϕ : R \to R / A_{1} \oplus \dots \oplus R / A_{n}$ 为 $ϕ : r \mapsto ⟨ r + A_{1}, \dots, r + A_{n} ⟩ .$

容易验证以下性质:

(1)	若对任意 $i \neq = j$ , $A_{i}$ 与 $A_{j}$ 互素, 则 $A_{1} \cap \dots \cap A_{n} = A_{1} \dots A_{n} .$
(2)	若 $A_{i}$ 与 $A_{j}$ 互素, 则对 $m = 1, 2, 3, \dots$ , $A_{i}^{m}$ 与 $A_{j}^{m}$ 也互素.
(3)	同态 $ϕ$ 是单射当且仅当 $A_{1} \cap \dots \cap A_{n} = 0.$
(4)	同态 $ϕ$ 是满射当且仅当对任意 $i \neq = j$ , $A_{i}$ 与 $A_{j}$ 互素.

环 $R$ 中的元素 $e$ 若满足 $e^{2} = e$ , 则称为幂等元. 两个幂等元 $e$ 与 $f$ 若满足 $e f = 0$ , 则称为正交的; 若 $e$ 满足 $er = re$ 对所有 $r \in R$ 成立, 则称 $e$ 是中心的或交换的. 以下结果容易证明:

命题 6.1. 设 $R$ 为一个环, 以下陈述等价:

1.	$R$ 同构于环 $R_{i}$ ( $1 \leq i \leq n$ ) 的直和.
2.	存在 $R$ 中的交换正交幂等元 $e_{i}$ 满足 $1 = \sum_{i = 1}^{n} e_{i}$ 且 $R_{i} = e_{i} R$ .
3.	$R$ 是理想 $A_{i} ≅ R_{i}$ ( $1 \leq i \leq n$ ) 的直和.

现在我们可以证明:

定理 6.2 (有限交换环的结构定理). 设 $R$ 为有限交换环, 则 $R$ 可以唯一地 (直和项的次序除外) 分解为局部环的直和.

证明. 设 $P_{1}, \dots, P_{n}$ 为 $R$ 的所有素理想. 由于 $R / P_{i}$ 是有限整环 (因而是有限域) , $P_{1}, \dots, P_{n}$ 是 $R$ 的极大理想. 于是 $Rad (R) = P_{1} \cap \dots \cap P_{n}$ . 由于对任意 $i \neq = j$ , $P_{i}$ 与 $P_{j}$ 互素, 我们有 $P_{1} \cap \dots \cap P_{n} = P_{1} \dots P_{n}$ , 且存在最小整数 $m$ 使得 $(Rad (R))^{m} = P_{1}^{m} \dots P_{n}^{m} .$

定义同态 $ϕ : R \to (R / P_{1}^{m}) \oplus \dots \oplus (R / P_{n}^{m})$ 为 $ϕ : r \mapsto (r + P_{1}^{m}, \dots, r + P_{n}^{m}) .$

由于 $⋂ P_{i}^{m} = 0$ , $ϕ$ 是单射; 又由于 $P_{i}^{m}$ 与 $P_{j}^{m}$ ( $i \neq = j$ ) 互素, $ϕ$ 是满射.

$R / P_{i}^{m}$ 的理想自然对应于 $R$ 中包含 $P_{i}^{m}$ 的理想. 但 $P_{i}$ 是唯一满足 $R \supseteq P_{i} \supseteq P_{i}^{m}$ 的极大理想. 因此 $R / P_{i}^{m}$ 是局部环, 其唯一极大理想为 $P_{i} / P_{i}^{m}$ .

假设

R

有两种分解. 对应于这些分解, 存在单位元的正交幂等元表示

1 = \sum_{i} e_{i} = \sum_{j} f_{j}

. 由于直和项

R e_{i}

与

R f_{j}

是局部的, 任何

e_{i}

都不能表示为两个真正交幂等元的和. 因此, 由

e_{i} = \sum_{j} e_{i} f_{j}

可得,

e_{i}

必须等于

e_{i} f_{j (i)}

. 同理,

f_{j} = f_{j} e_{i (j)}

. 于是我们得到

e_{i} = e_{i} f_{j (i)} = e_{i} f_{j (i)} e_{i (j (i))},

这意味着

i = i (j (i)),

因为

e_{i}

是正交的. 因此, 在

{e_{i}}

与

{f_{j}}

之间存在双射. 故

e_{i} = e_{i} f_{j (i)}

,

f_{j (i)} = f_{j (i)} e_{i}

, 从而

e_{i} = f_{j} (i) .

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