8. 有限单环

本章是本讲义篇幅最长的章节, 主要研究有限域上的矩阵环. 重点在于环论视角的探讨而非线性代数. 第 1 节首先证明半单环可以分解为有限域上矩阵环的直和. 在此基础上, 我们将注意力转向半单环的简单分量——即有限域 $k$ 上的矩阵环 $M_{n} (k)$ . 第 2 节描述 $M_{n} (k)$ 的子域和单子环结构. 第 3 节研究 $M_{n} (k)$ 的自同构及其 Galois 理论: 我们在 $M_{n} (k)$ 的特定子环集合与 $Aut (M_{n} (k))$ 的子群集合之间建立格反序双射. 第 4 节简要考察 $M_{n} (k)$ 的单位群 (即一般线性群) , 着重分析其正规子群和 Sylow 子群的性质. 第 5 节首先刻画满足 $R / Rad (R) = M_{n} (k)$ 的环 $R$ 的结构, 其次讨论可嵌入 $M_{n} (k)$ 的代数的基本性质.