8.2. Mn(k) 的单子环

本节讨论 $M_n(k)$ 中的单子环, 即 $M_n(k)$ 中的矩阵环.

定理 8.2.1 (特征基定理). 设 $k$ 为有限域, $V$ 为双边 $k$-向量空间, 其左维数为 $m$. 设 $k_1$ 为 $k$ 的子域, 满足对所有 $\alpha \in k_1$ 和 $v\in V$, 有 $\alpha v=v\alpha$, 且 $k_1$ 在满足这个条件的真子域当中是极大的. 则存在 $V$ 的一个左 $k$-基 $\{b_1,\dots ,b_m\}$ 和 $k$ 的 $k_1$-自同构 $\{{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_m\}$, 使得

$$\alpha b_i=b_i{\sigma }_i(\alpha )$$

对所有 $\alpha \in k$ 成立.

证明. 我们有 $k\cong k_1[X]/(f)$, 其中 $f$ 是一个 $r=[k:k_1]$ 次不可约多项式. 在 $k[X]$ 中, $f$ 分解为不同的线性因子 $f(X)=(X-a_1)\cdots (X-a_r)$, 其中 $a_i\in k$ 且 $a_i\ne a_j$. 定义 $f_i(X)={\prod }_{j\ne i}(X-a_j)$. 则 $f_i(a_i)\ne 0$ 且

$$\sum _{i=1}^r\frac{f_i(X)}{f_i(a_i)}=1.\text{\hspace{1em}(∗)}$$

设 $\varphi :V\to V$ 为由 $\varphi (v)=v{a}_1$ 给出的 $k$-线性左态射. 注意到 $f(\varphi )(v)=vf(a_1)=0$. 应用 $(\ast )$ 我们得到恒等态射

$${\text{id}}_V=\sum _{i=1}^r\frac{f_i(\varphi )}{f_i(a_i)}:V\to V$$

它诱导了自然分解

$$V=V_1+\cdots +V_r,$$

其中 $V_i=[f_i(a_i){]}^{-1}{f}_i(\varphi )(V)$. 容易看出这是直和.

设 $v\in V_i$. 则对某个 $w\in V$, 有 $v=[f_i(a_i){]}^{-1}{f}_i(\varphi )(w)$ 且

$$\begin{array}{rl}(\varphi -a_i)(v)& =[f_i(a_i){]}^{-1}f(\varphi )(w)\\ & =0.\end{array}$$

因此 $\varphi (v)=a_{i}v$. 根据 $\varphi$ 的定义, $\varphi (v)=v{a}_1$. 即对所有 $v\in V_i$, 有 $a_{i}v=v{a}_1$. 由于 $a_1$ 和 $a_i$ 是 $k[X]$ 中 $f$ 的零点, 存在一个 $k_1$-自同构 ${\sigma }_i$ 满足 ${\sigma }_i(a_1)=a_i$. 如果 $\alpha \in k=k_1[a_1]$, 则 $\alpha =c_0+c_1{a}_1+\cdots +c_{r-1}{a}_1^{r-1}$, 其中 $c_i\in k_1$. 容易看出对所有 $v\in V$ 有 $v\alpha ={\sigma }_i(\alpha )v$. 结果得证.

$\square$

设 $A$ 和 $B$ 为有限域上的代数 ¹, 基分别为 $\{a_1,\dots ,a_m\}$ 和 $\{b_1,\dots ,b_n\}$. 定义张量积 (直积) $A\otimes B$ 为一个代数, 基为 $\{a_i\otimes b_j{\}}_{i=1,j=1}^{m,n}$, 乘法由 $(a_i\otimes b_j)(a_s\otimes b_t)=(a_i{a}_s)\otimes (b_j{b}_t)$ 以及分配律给出.

例 8.2.2.

(1)	设 $A$ 为有限域 $k$ 上的代数, $K$ 为 $k$ 的扩域. 则 $K\otimes A$ 记为 $A_K$, 是 $K$ 上的代数, 具有与 $A$ 相同的基和相同的基元素间乘法. (这称为标量扩张. )
(2)	设 $A$ 为有限域 $k$ 上的代数. 则 $A\otimes M_n(k)\cong M_n(A)$.
(3)	对于有限域 $k$, 有 $M_n(k)\otimes M_m(k)\cong M_{nm}(k)$.

定理 8.2.3. 设 $k_1={\mathbb{F}}_{p^t}$ 和 $k_2={\mathbb{F}}_{p^s}$ 为有限域 ($p$ 为素数) . 如果 $d=\gcd (s,t)$ 且 $\ell =\mathrm{lcm}(s,t)$, 则

(i)	$k_1\cap k_2={\mathbb{F}}_{p^d}$
(ii)	$k_1\otimes k_2={\mathbb{F}}_{p^{\ell }}$, 其中 $k_1$ 和 $k_2$ 视为 $k_1\cap k_2$ 上的代数.

证明. 在 ${\mathbb{F}}_p$ 的代数闭包中考虑集合 $F=\{\sum a_i{b}_j|a_i\in k_1,b_j\in k_2\}$. 显然 $F\subset {\mathbb{F}}_{p^{\ell }}$ 是一个 $p^v$ 元的有限域. 由于 $k_1$ 和 $k_2$ 在 $F$ 中, $t$ 整除 $v$ 且 $s$ 整除 $v$. 因此 $v=\ell$ 且 $F={\mathbb{F}}_{p^{\ell }}$.

定义 $F\to k_1\otimes k_2$ 由 $\sum a_i{b}_j\mapsto \sum a_i\otimes b_j$ (在 ${\mathbb{F}}_{p^d}$ 上的张量积) . 容易看出这是一个单的域同态. 由于 $|F|=|k_1\otimes k_2|$, 这是一个同构.

$\square$

在本节余下部分, 我们固定以下记号和约定:

(i)	$k={\mathbb{F}}_{p^t}$ ($p$ 为素数) .
(ii)	$V$ 为 $k$ 上的 $n$ 维向量空间.
(iii)	$k_0={\mathbb{Z}}_p$ (素域) .
(iv)	$L=M_n(k)$ (我们常将 $L$ 与 ${\mathrm{End}}_k(V)$ 等同) .
(v)	对于 $L$ 的子环 $R$, $$C_L(R)=\{\sigma \in L\mid \forall \alpha \in R,\alpha \sigma =\sigma \alpha \}$$为 $R$ 在 $L$ 中的中心化子.
(vi)	如果 $k_1$ 是任何满足 $k_0\subseteq k_1\subseteq k$ 的有限域, 则 $k_1$ 被等同为 $L$ 中相应的标量矩阵域.
(vii)	如果 $R$ 是 $L$ 的子环, 假设 $R$ 的单位元与 $L$ 的单位元相同.

定理 8.2.4. 设 $K$ 为包含 $k$ 的有限域. 如果 $[K:k]=m$, 则

(i)	$k\subseteq K\subseteq L$ 当且仅当存在整数 $q$ 使得 $mq=n$, 即 $m$ 整除 $n$.
(ii)	如果 $m$ 整除 $n$, 则 $C_L(K)=M_q(K)$.

证明. 假设 $K$ 是 $L$ 中的有限域且 $k\subseteq K$. 则 $V$ 在 $\alpha v=\alpha (v)$ ($\alpha \in K$, $v\in V$) 下成为 $K$-空间. 设 $q={\dim }_K(V)$, $\{v_j\}$ 为 $V$ 的 $K$-基. 则如果 $\{{\alpha }_i\}$ 是 $K$ 的 $k$-基, $\{{\alpha }_i{v}_j\}$ 就是 $V$ 的 $k$-基. 因此

$$n={\dim }_k(V)={\dim }_K(V){\dim }_k(K)=qm.$$

反之, 设 $\alpha$ 为 $k$ 上的 $m\times m$ 矩阵 ($mq=n$) , 其特征多项式 $c_{\alpha }$ 不可约. 设 $\beta =\mathrm{diag}[\alpha \oplus \cdots \oplus \alpha ]$ ($q$ 块) 在 $L$ 中. 则 $\beta$ 在 $L$ 中的极小多项式 $m_{\beta }$ 为 $c_{\alpha }$ 且在 $L$ 中

$$k[\beta ]=k[X]/m_{\beta }=k[X]/c_{\alpha }=K.$$

最后, $C_L(K)=\{\alpha \in L\mid \sigma \in K,\alpha \sigma =\sigma \alpha \}={\mathrm{End}}_K(V)$. 但 $V$ 作为 $K$-空间维数为 $q$. 因此 $C_L(K)\cong M_q(K)$.

$\square$

定理 8.2.5. 设 $S$ 为单环且 $k\subseteq S\subseteq L$. 则显然

$$S=M_v(K),$$

其中 $K$ 为有限域, $k\subseteq K$, $[K:k]=m$ 且 $mq=n$. 进一步, 如果 $\overline{S}=C_L(S)$, 则

(i)	$\overline{S}=M_w(K)$
(ii)	$S=C_L(\overline{S})$
(iii)	有如下格图: $$L=M_n(k)C_L(K)=M_q(K)S=M_v(K)\overline{S}=M_w(K)Kkm$$

其中 ${\dim }_k(S)=m{v}^2$, ${\dim }_k(\overline{S})=m{w}^2$ 且 $(m{v}^2)(m{w}^2)=m^2{q}^2$.

证明. 设 $S$ 为单环且 $k\subseteq S\subseteq L$. 则对某个 $v$ 和某个有限域 $K$ 满足 $k\subseteq K\subseteq L$, $S=M_v(K)$.

设 $m=[K:k]$. 则 $n=mq$. 由前一个结果, $C_L(K)$ 是单的且 $C_L(K)=M_q(K)$. 设 $T=C_L(K)$.

则 $S\subseteq T$ 且 $C_L(S)\subseteq C_L(K)$ 因为 $K\subseteq S$. 设 $W$ 为 $K$-向量空间, 维数为 $q$, 并将 $T=C_L(K)=M_q(K)$ 视为 ${\mathrm{End}}_K(W)$. 则 $W$ 自然地成为 $S$-模. 由定理 8.1.7, $W=W_1\oplus \cdots \oplus W_t$ (作为 $S$-模), 其中 $W_i\cong L$ ($L$ 为 $S$ 的极小左理想) .

但 $C_T(S)={\mathrm{End}}_S(W)$, 且由定理 7.3, ${\mathrm{End}}_S(W)\cong {\mathrm{End}}_S(L\oplus \cdots \oplus L)\cong M_t(K)$. 为确定 $t$, 记住 $L$ 是 $S$ 的极小左理想当且仅当 $L=Se$, 其中 $e$ 是极小幂等元. 由于 $S=M_v(K)$, 由定理 7.13, 存在相似变换将 $e$ 变为矩阵单位 $E_{11}$. 因此取 $L=S{E}_{11}=\{(a_1,\dots ,a_v{)}^t|a_i\in K\}$. 因此 $L$ 是维数为 $v$ 的 $K$-空间. 则 $q=\dim (W)=tv$.

$\square$

我们以 $L$ 的 Noether–Skolem 定理结束本节.

定理 8.2.6 (Noether–Skolem). 设 $S$ 和 $T$ 为 $L$ 的包含 $k$ 的单子环. 如果 $\varphi :T\to S$ 是 $k$-同构, 则存在 $L$ 中的可逆元 $\rho$ 使得

$$\varphi (\alpha )=\rho \alpha {\rho }^{-1}$$

对所有 $\alpha \in T$ 成立. (参见练习 (VIII.26) 和 (VIII.27)) .

证明. 将 $L$ 视为 ${\mathrm{End}}_K(V)$. 则 $V$ 自然地以两种方式成为左 $T$-模:

$$t\cdot v=t(v)({\text{记为 }}_{T}V)$$

和

$$t\cdot v=\varphi (t)(v)({\text{记为 }}_{S}V).$$

如上一个证明, 每个 $T$-模是同构的 $T$ 的左理想的直和. 通过计算维数, 我们有相同数量的直和项. 因此作为 $T$-模, ${}_{T}V\cong {}_{S}V$. 设 ${}_{T}V\to {}_{S}V$ 的同构记为 $\rho$. 则对所有 $t\in T$, $\rho (t\cdot v)=t\cdot \rho (v)=\varphi (t)\rho (v)$. 特别地, 如果 $t\in k$, 则 $\rho$ 是 $k$-线性的, 即 $\rho \in L$. 作为映射, 如果 $t\in T$, 则$$\rho t=\varphi (t)\rho .$$即$$\varphi (t)=\rho t{\rho }^{-1}.$$

$\square$

推论 8.2.7. 设 $\varphi :L\to L$ 为 $k$-代数同构. 则存在 $L$ 中的可逆元 $\rho$ 使得$$\varphi (\alpha )=\rho \alpha {\rho }^{-1}$$对所有 $\alpha \in L$ 成立.

证明. 在定理 8.2.6 中取 $L=T=S$.

$\square$

(VIII.26) 练习. 设 $k$ 为有限域, $V$ 为 $k$ 上维数为 $n$ 的向量空间. 设 $L={\text{End}}_k(V)$, $S$ 和 $T$ 为 $L$ 中的单 $k$-代数. 如果 $\varphi :S\to T$ 是环同构, 证明存在环同构 $\varphi :L\to L$ 使得 $\varphi {|}_S=\varphi$; 等价地, 存在半线性映射 $\rho :V\to V$ 满足对所有 $s\in S$ 有 $\varphi (s)=\rho s{\rho }^{-1}$. (这个练习和下一个练习推广了 Noether-Skolem 定理 (VIII.12). 提示: 参照 (VIII.12) 的证明, 并利用当 $\varphi$ 限制在 $S$ 的中心时, $S$ 的子域表现良好这一事实.

(VIII.27) 练习. ((VIII.26) 的延续) . 设 $S$ 为 $L$ 中的单环. 设 $\varphi :S\to S$ 为环同构. 证明存在半线性映射 $\rho :V\to V$ 使得对每个 $s\in S$ 有 $\varphi (s)=ps{p}^{-1}$.

(提示: 使用 Galois 理论. 将 $\varphi$ 从 $S$ 提升到 $Sk$ 如下: 如果 $k_2=k\cap Z(S)$ 且 $\varphi {|}_{k_2}=\bar{\sigma }$, 取 $\sigma \in \text{Aut}(k)$ 满足$$\sigma {|}_{k_2}=\bar{\sigma }$$定义 $\bar{\varphi }:Sk\to Sk$ 为 $\bar{\varphi }(s\alpha )=\varphi (s)\sigma (\alpha )$, 其中 $s\in S$, $\alpha \in k$ 并线性扩展. 然后通过 (VIII.26) 扩展 $\bar{\varphi }$.

1.	^ 如果 $A$ 是一个环且具有与环结构明显兼容的 $k$-空间结构, 则称 $A$ 是 $k$ 上的代数.