8.3. Mn(k) 的 Galois 理论

在本节中, 我们将描述单环的 Galois 理论. 这里 “Galois 理论” 意味着我们将在单环的子环类与环自同构群的子群集合之间建立一个格反序双射.

以下符号和约定在本节中始终有效:

•	$k={\mathbb{F}}_{p^t}(p\text{ 为素数})$
•	$V$ 为 $k$ 上的 $n$ 维向量空间
•	$k_0=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}(\text{素域})$
•	$L=M_n(k)$
•	$A$ 为 $L=M_n(k)$ 的所有环自同构构成的群

对于 $L$ 的子环 $R$, 定义:

•	保持 $R$ 不动的自同构群$${\mathrm{Aut}}_A(R)=\{\Lambda \in A\mid \forall \alpha \in R,\Lambda (\alpha )=\alpha \}$$
•	$R$ 在 $L$ 中的中心化子$$C_L(R)=\{\sigma \in L\mid \forall \alpha \in R,\alpha \sigma =\sigma \alpha \}$$
•	$R$ 的中心$$Z(R)=\{\sigma \in R\mid \forall \alpha \in R,\alpha \sigma =\sigma \alpha \}$$

对于 $A$ 的子群 $G$, 定义:

•	$G$ 作用下的不动环$${\mathrm{Rng}}_L(G)=\{\sigma \in L\mid \forall \Lambda \in G,\Lambda (\sigma )=\sigma \}$$

补充约定:

(1)	若 $k_1$ 是满足 $k_0\subseteq k_1\subseteq k$ 的有限域, 则 $k_1$ 等同于 $L$ 中相应的标量矩阵域.
(2)	若 $R$ 是 $L$ 的子环, 则假定 $R$ 的单位元与 $L$ 的单位元相同.

我们首先描述单个环自同构. 称映射 $\rho :V\to V$ 为半线性变换, 如果存在域自同构 $\sigma :k\to k$ 使得

(1)	$\rho (v+w)=\rho (v)+\rho (w)$
(2)	$\rho (\alpha v)=\sigma (\alpha )\rho (v)$

其中 $v,w\in V$ 且 $\alpha \in k$.

设 $\{v_1,\dots ,v_n\}$ 是 $V$ 的 $k$-基, $\rho :V\to V$ 为半线性变换. 若

$$\rho (v_i)=\sum _{j=1}^n{a}_{ji}{v}_j,$$

则矩阵 $P=[a_{ij}]$ 称为 $\rho$ 相对于 $\{v_i\}$ 的矩阵, 记作 $\mathrm{Mat}(\rho )$. 我们将 $\rho$ 等同于有序对 $⟨P,\sigma ⟩$. 对于 $\sum a_i{v}_i\in V$, 有

$$\begin{array}{rl}\rho \left(\sum _i{\alpha }_i{v}_i\right)& =\sum _i\sigma ({\alpha }_i)\rho (v_i)\\ & =\sum _i\sigma ({\alpha }_i)\left(\sum _j{a}_{ji}{v}_j\right)\\ & =\sum _j\left(\sum _i{a}_{ji}\sigma ({\alpha }_i)\right)v_j.\end{array}$$

用矩阵语言表达:

$$⟨P,\sigma ⟩\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ ⋮\\ {\alpha }_n\end{array}\right]=P\left[\begin{array}{c}\sigma ({\alpha }_1)\\ ⋮\\ \sigma ({\alpha }_n)\end{array}\right].$$

若 $\{w_1,\dots ,w_n\}$ 是另一组基且 $w_i={\sum }_j{\beta }_{ji}{v}_j$, 则相对于新基的矩阵为

$$\mathrm{Mat}(\rho )=B^{-1}P{B}^{\sigma },$$

其中 $B=[{\beta }_{ji}]$, $B^{\sigma }=[\sigma ({\beta }_{ji})]$.

定理 8.3.1. 设 $\Lambda :L\to L$ 为环自同构, 则存在可逆半线性变换 $\rho :V\to V$ 使得$$\Lambda (\alpha )=\rho \alpha {\rho }^{-1}$$对所有 $\alpha \in L$ 成立.

证明. (练习, 参见本节习题.)

$\square$

记上述 $\Lambda$ 为 ${\Lambda }_{\rho }$. 注意对任意 $0\ne \alpha \in k$, 有 ${\Lambda }_{\rho }={\Lambda }_{\alpha \rho }$. 若半线性变换 $\rho$ 和 $\varphi$ 满足 $\rho \leftrightarrow ⟨P,\sigma ⟩$ 和 $\varphi \leftrightarrow ⟨Q,\tau ⟩$, 则 $\rho \varphi \leftrightarrow ⟨P{Q}^{\sigma },\sigma \tau ⟩$.

假设 ${\Lambda }_{\rho }={\Lambda }_{\varphi }$. 则对所有 $\alpha \in L$,$$P{\alpha }^{\sigma }{P}^{-1}=Q{\alpha }^{\tau }{Q}^{-1}.$$等价地,$${\alpha }^{\sigma }(P^{-1}Q)=(P^{-1}Q){\alpha }^{\tau }.$$

取 $\alpha =E_{ij}$ (初等矩阵), 则$${\alpha }^{\sigma }=E_{ij}^{\sigma }=E_{ij}=E_{ij}^{\tau }={\alpha }^{\tau }.$$因此 $E_{ij}(P^{-1}Q)=(P^{-1}Q)E_{ij}$ 对所有 $i,j$ 成立, 说明 $P^{-1}Q$ 是标量矩阵 $\delta \in k$. 故 $Q=\delta P$ 且 $\sigma =\tau$. 我们得出: ${\Lambda }_{\rho }={\Lambda }_{\varphi }$ 当且仅当 $Q=\delta P$ ($0\ne \delta \in k$) 且 $\sigma =\tau$.

以下结论是 Galois 理论的基础.

定理 8.3.2 (Hochschild). 设 $G$ 是 $A=\mathrm{Aut}(L)$ 的子群, 满足 $G$ 中唯一的內自同构是恒等映射. 令$$S={\mathrm{Rng}}_L(G),k_1=S\cap k,$$则

(i)	$S$ 是单 $k_1$-代数 (事实上 $S\cong M_v(k_1)$ 对某个 $v$);
(ii)	$L=Sk$, 其中 $Sk$ 表示由所有有限和 ${\sum }_i{s}_i{\alpha }_i$ ($s_i\in S,{\alpha }_i\in k$) 生成的 $k_1$-代数. 事实上,$$Sk\cong S{\otimes }_{k_1}k.$$

证明. (Hochschild [34]) 我们将 $S$ 嵌入一个中心为 $k_1$ 的单代数, 并应用定理 8.2.5. 取这个单代数为 $L$ 关于 $G$ 的半线性群环 $(L,G)$, 其定义如下:

$(L,G)$ 是自由 $L$-模, 具有自由 $L$-基$$\{u_1=1,u_{\sigma },\dots ,u_{\tau }\}\text{其中}G=\{1,\sigma ,\dots ,\tau \}.$$乘法定义为:$$\alpha u_{\sigma }=u_{\sigma }\sigma (\alpha ),$$$$u_{\sigma }{u}_{\tau }=u_{\sigma \tau }$$(并线性延拓).

通过 $\rho \mapsto \rho u_1=\rho 1$ 将 $L$ 嵌入 $(L,G)$ 中, 并记 $\rho 1\equiv \rho$. 令 $k_1$ 为 $(L,G)$ 的中心.

第一步证明 $(L,G)$ 是单环. 设 $J$ 是 $(L,G)$ 中的非零双边理想, 且$$0\ne \sum _{i=1}^r{\alpha }_i{u}_{{\sigma }_i}({\alpha }_i\in L)$$属于 $J$. 选择这个非零元素使得 $r$ 最小. 此时 ${\sigma }_i\ne {\sigma }_j$ ($i\ne j$).

当 $r=1$ 时: 对任意 $\alpha \ne 0\in L$, $\alpha u_{\sigma }\in J$. 故$$({\alpha }_1\alpha {\alpha }_2)u_{\sigma }={\alpha }_1(\alpha u_{\sigma }){\sigma }^{-1}({\alpha }_2)\in J.$$由于 $L\alpha L=L$, 可得 $u_{\sigma }\in J$. 于是$$1=u_{{\sigma }^{-1}}{u}_{\sigma }\in J⟹J=(L,G).$$

当 $r>1$ 时: 不妨设 ${\alpha }_r=1$, 有非零元$${\alpha }_1{u}_{{\sigma }_1}+\cdots +{\alpha }_{r-1}{u}_{{\sigma }_{r-1}}+u_{{\sigma }_r}\in J.$$右乘 $\alpha$, 左乘 ${\sigma }_r^{-1}(\alpha )$, 两式相减得$$\sum _{i=1}^{r-1}(\alpha {\alpha }_i-{\alpha }_i{\sigma }_i{\sigma }_r^{-1}(\alpha ))u_{{\sigma }_i}\in J.$$由 $r$ 的最小性可知此元素为零. 由于 $\{u_{\sigma }\}$ 是 $L$-自由的, 得$$\alpha {\alpha }_i={\alpha }_i{\sigma }_i^{-1}{\sigma }_r(\alpha ).\text{\hspace{1em}(**)}$$这说明 $L{\alpha }_i={\alpha }_{i}L$, 即 $L{\alpha }_i$ 是双边理想. 由 $L$ 的单性知 $L{\alpha }_i=L$, 故存在 ${\alpha }_i^{-1}\in L$ 使得 ${\alpha }_i^{-1}{\alpha }_i=1$.

则 $(\ast \ast )$ 式蕴含$${\alpha }_i^{-1}\alpha {\alpha }_i={\sigma }_i{\sigma }_r^{-1}(\alpha ).$$即 ${\sigma }_i{\sigma }_r^{-1}$ 是內自同构. 由 $G$ 的假设条件得 ${\sigma }_i={\sigma }_r$, 这与 $r>1$ 矛盾. 因此 $(L,G)$ 是单环.

接下来证明 $L=C_{(L,G)}(k)$. 若 $\beta ={\sum }_{\beta \in G}{\beta }_{\sigma }{u}_{\sigma }$ 与所有 $\alpha \in k$ 交换, 则 $\sigma (\alpha )=\alpha$ 对所有 $\alpha \in k$ 成立. 因此 $\sigma$ 是內自同构, 故 $\sigma =1$. 于是 $\beta ={\beta }_1{u}_1\in L$.

类似地可证: 由 $\{u_{\sigma }\}$ 和 $k$ 在 $(L,G)$ 中生成的半线性子群环 $(k,G)$ 也是单环.

考虑以下格结构:$$(L,G)L=C_{(L,G)}(k)(k,G)=C_{(L,G)}(S)C_{(L,G)}(k,G)=S={\mathrm{Rng}}_L(G)k=C_{(L,G)}(L)=Z(L)=C_L(S)=C_{(k,G)}(k)k_1=Z(k,G)=Z(L,G)=Z(S)$$

设 $k_1=Z(k,G)$. 由于 $Z(L,G)\subseteq L$, 故 $Z(L,G)\subseteq k=Z(L)$. 因此 $Z(L,G)=Z(k,G)=k_1$.

注意到 $[(k,G):k]=|G|=[k:k_1]$. 最后一个等式源于: 若 ${\Lambda }_{\varphi }{|}_k={\Lambda }_{\theta }{|}_k$, 其中 $\varphi \leftrightarrow ⟨P,\sigma ⟩$, $\theta \leftrightarrow ⟨Q,\tau ⟩$, 则对任意 $\alpha \in k$ 有$${\alpha }^{\sigma }={\Lambda }_{\varphi }(\alpha )={\Lambda }_{\theta }(\alpha )={\alpha }^{\tau }.$$因此 $\sigma =\tau$, 且 ${\Lambda }_{\varphi }{\Lambda }_{\theta }^{-1}$ 是內自同构. 故 ${\Lambda }_{\varphi }={\Lambda }_{\theta }$. 这表明 $G$ 中不同元素诱导 $k$ 上不同的 $k_1$-自同构. 事实上, 由于 $k_1$ 是 $k$ 在 $G$ 下的不动子域, $G$ 给出了 $k$ 的所有 $k_1$-自同构, 即 $|G|=[k:k_1]$. 特别地, $G$ 是循环群且同构于 ${\mathrm{Aut}}_k(k_1)$.

进一步注意 $C_{(L,G)}(k,G)\subseteq L$. 因此, $S={\mathrm{Rng}}_L(G)=C_{(L,G)}(k,G)\subseteq L$. 根据定理 8.2.5, 有 $(k,G)=C_{(L,G)}(S)$.

因此, $C_L(S)=(k,G)\cap L=k$. 最终, $Z(S)=S\cap k=k_1$.

若 $[k:k_1]=m=|G|$, 则图表如下:$$(L,G)\cong M_{mn}(k_1)M_n(k)\cong L(k,G)\cong M_m(k_1)M_n(k_1)=S={\mathrm{Rng}}_L(G)k{k}_{1}m{n}^{2}m{n}^{2}m{n}^{2}m$$

最后, $S{\otimes }_{k_1}k$ 是单的. 因此自然满态射

$$S{\otimes }_{k_1}k\to Sk$$

是同构. 故

$${\dim }_{k_1}(Sk)={\dim }_{k_1}(S\otimes k)={\dim }_{k_1}(S){\dim }_{k_1}(k)=n^{2}m.$$

但 ${\dim }_{k_1}(L)=n^{2}m$, 因此 $L=Sk$.

$\square$

设 $G\le A=\mathrm{Aut}(L)$. 若 $\rho \in L$ 可逆, 记 $I_{\rho }$ 为由 $\rho$ 诱导的内自同构. 令 $R[G]$ 表示由所有满足 $I_{\rho }\in G$ 的 $\rho$ 生成的 $L$ 的子环. 令 $G_0$ 表示 $G$ 中所有内自同构构成的正规子群.

回忆 $L=M_n(k)$, 其中 $k={\mathbb{p}}^{\mathbb{t}}$. 子群 $G\le A$ 称为正则的, 如果:

(1)	若 $\rho \in R[G]$ 可逆, 则 $I_{\rho }\in G$;
(2)	$R[G]$ 是单环.

注意 $k\subseteq R[G]$, 因为若 $0\ne \alpha \in k$, 则 ${\mathrm{id}}_G=I_{\alpha }$. 进一步, 若 $G$ 正则且 $\Lambda \in G$, 则 $\Lambda :R[G]\to R[G]$. 为验证这一点, 设 $\rho$ 是 $R[G]$ 的生成元. 通过直接计算可知 $I_{\Lambda (\rho )}=\Lambda I_{\rho }{\Lambda }^{-1}\in G$, 因此 $\Lambda (\rho )\in R[G]$.

若 $S$ 是 $L$ 的子环且在子域 $k_1\subseteq k$ 上构成代数, 记 $[L:S]$ 为有理数 $[L:k_1]/[S:k_1]$. 注意这与 $k_1$ 的选择无关.

Galois 对应关系由以下两个引理得出.

引理 8.3.3. 设 $G\le A=\mathrm{Aut}(L)$ 是正则子群. 则:

(i)	$S={\mathrm{Rng}}_L(G)$ 是单环;
(ii)	${\mathrm{Aut}}_A({\mathrm{Rng}}_L(G))=G$;
(iii)	$|G/G_0|[R[G]:k]=[L:S]$.

证明. (Hochschild [34]) 由于 $G$ 正则, $R[G]$ 是单环. 进一步, $k\subseteq Z(R[G])$. 则 $C_L(R[G])$ 是单环且包含 $k$. 令 $T=C_L(R[G])$, 有

$$[T:k][R[G]:k]=[L:k].$$

注意到 ${\mathrm{Rng}}_L(G)\subseteq T$.

我们知道 $G$ 将 $R[G]$ 映到 $R[G]$. 由于自同构保持中心化子, $G$ 将 $T$ 映射到自身. 我们将 $G$ 限制在 $T$ 上. 若 $\Lambda \in G$ 且在 $T$ 上的限制 $\Lambda {|}_T$ 是內自同构, 则 $\Lambda {|}_T$ 保持 $Z(T)=k_1$ 不动. 由于 $k\subseteq Z(T)=k_1$, $\Lambda {|}_T$ 保持 $k$ 不动, 因此 $\Lambda$ 自身保持 $k$ 不动, 从而 $\Lambda$ 是內自同构. 故 $\Lambda \in G_0$, 存在可逆元 $\rho \in L$ 使得 $\Lambda =I_{\rho }$. 由于 $R[G]$ 正则, $\rho \in R[G]$. 因此 $\rho$ 中心化 $T=C_L(R[G])$, 即 $\Lambda {|}_T=I_{\rho }{|}_T=\mathrm{id}$. 由此 $G{|}_T\cong G/G_0$.

因此, 我们得到中心为 $k_1$ 的单环 $T$, 以及作用在 $T$ 上的自同构群 $G{|}_T$, 其中不含非平凡內自同构. 这满足定理 8.3.2 的条件.

令 $S={\mathrm{Rng}}_T(G{|}_T)$. 注意到 $S={\mathrm{Rng}}_L(G)$ 且 $S$ 是 $T$ 的单子环. 我们有以下图表:$$L=M_n(k)T=C_L(R[G])R[G]S={\mathrm{Rng}}_L(G)k_1={\mathbb{F}}_{p^{mqd}}={\mathbb{F}}_{p^{mt}}{\mathbb{F}}_{p^{md}}=k_{2}k={\mathbb{F}}_{p^t}={\mathbb{F}}_{p^{qd}}{k}_3={\mathbb{F}}_{p^d}qmmq$$

注:

(1)	$m$ 整除 $n$;
(2)	$(q,m)=1$.

令 $k_1=Z(T)$, $k_2=Z(S)=S\cap k_1$, $k_3=S\cap k$. 注意到 $k_{2}k\subseteq k_1$, 且 $G$ 将 $k_{2}k$ 映射到自身. $k_3$ 是 $k$ 在 $G$ 作用下的不动子域, $k_2=k_2{k}_3$ 是 $k_{2}k$ 在 $G$ 作用下的不动子域. 但 $G{|}_{k_{2}k}\cong G/G_0$, 因此 $[k_{2}k:k_2]=|G/G_0|=[k_1:k_2]$. 从而 $k_1=k_{2}k$.

类似地, $[k:k_3]=[k_1:k_2]$. 由于 $k_3=k_2\cap k$ 且 $k_1=k_{2}k$, 根据 8.2.3, 若 $k_1={\mathbb{F}}_{p^s}$, $k={\mathbb{F}}_{p^t}$, $k_2={\mathbb{F}}_{p^r}$, $k_3={\mathbb{F}}_{p^d}$, 则

$$s=\mathrm{lcm}(t,r),d=\gcd (t,r).$$

假设 $[k_1:k]=m$, $|G/G_0|=q$. 则 $t=md$, $r=qd$, $s=mqd$. 特别地, $(m,q)=1$.

现计算 $|G/G_0|[R[G]:k]$. 由上述关系,

$$|G/G_0|[R[G]:k]=[k:k_3]\frac{[L:k]}{[T:k]}=\frac{[L:k_3]}{[T:k]}.$$

根据定理 8.3.2, $T\cong S{\otimes }_{k_2}{k}_1$. 因此 $[T:k_1]=[S:k_2]$. 故

$$[T:k]=[T:k_1][k_1:k]=[S:k_2][k_2:k_3]=[S:k_3],$$

且

$$|G/G_0|[R[G]:k]=\frac{[L:k_3]}{[S:k_3]}=[L:S].$$

为完成证明, 我们验证 ${\mathrm{Aut}}_A({\mathrm{Rng}}_L(G))=G$.

令 $G_1={\mathrm{Aut}}_A({\mathrm{Rng}}_L(G))$. 注意到 $G\subseteq G_1$ 且 $S={\mathrm{Rng}}_L(G)={\mathrm{Rng}}_L(G_1)$. 因此 $R[G_1]\subseteq C_L(S)=R^{\prime }$.

但 $C_L(S)=C_L(Sk)$, 直接计算表明 $Sk\cong S{\otimes }_{k_3}k$ 是中心为 $k_1$ 的单 $k$-代数. 因此 $R^{\prime }=C_L(S)$ 是单环, 由可逆元生成. 若 $\rho \in R^{\prime }=C_L(S)$ 可逆, 则 $I_{\rho }\in G_1={\mathrm{Aut}}_A(S)$, 故 $\rho \in R[G_1]$. 因此 $R[G_1]=C_L(S)$.

注意到 $G_1/G_0\cong {\mathrm{Aut}}_k(k_3)\cong G/G_0$. 由 (iii) 的等式,

$$[R[G_1]:k]=[R[G]:k].$$

由于 $R[G]\subseteq R[G_1]$, 这蕴含 $R[G]=R[G_1]$. 因此 $G_1=G_0$. 但 $G\subseteq G_1$ 且 $|G/G_0|=|G_1/G_0|$, 故 $G=G_1$.

$\square$

引理 8.3.4. 设 $R\subseteq L$ 是单子环. 则:

(i)	${\mathrm{Aut}}_A(R)=G$ 是正则的;
(ii)	${\mathrm{Rng}}_L({\mathrm{Aut}}_A(R))=R$.

证明. 令 $R$ 的中心 $Z(R)=k_1$. 则 $k_1$ 是 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 的扩域. 由于 $k=Z(L)$, $R\cap k=k_2\subseteq k_1$. 显然 $k_1\cap k\subseteq k_2$.

但 $k_2\subseteq k_1$ 且 $k_2\subseteq k$, 故 $k_2\subseteq k_1\cap k$. 因此 $k_2=k_1\cap k$.

若 $k_1={\mathbb{F}}_{p^s}$, $k={\mathbb{F}}_{p^t}$, 则 $k_2={\mathbb{F}}_{p^d}$, $d=\gcd (s,t)$.

因此$$\begin{array}{rl}R{\otimes }_{k_2}k& \cong M_w(k_1){\otimes }_{k_2}k(\text{对某个}w)\\ & \cong \left(M_w(k_2){\otimes }_{k_2}{k}_1\right){\otimes }_{k_2}k\\ & \cong M_w(k_2){\otimes }_{k_2}(k_1{\otimes }_{k_2}k)\\ & \cong M_w(k_2){\otimes }_{k_2}{k}_3\\ & \cong M_w(k_3),\end{array}$$

其中 $k_3={\mathbb{F}}_{p^q}$, $q=\mathrm{lcm}(s,t)$.

特别地, $R{\otimes }_{k_2}k$ 是单的. 由于存在自然满同态 $R{\otimes }_{k_2}k\to Rk$, 故 $Rk$ 是单的.

注意到 $R[G]\subseteq C_L(R)$. 但如前所述, $C_L(R)=C_L(Rk)$, 且 $Rk$ 是单 $k$-代数. 因此 $C_L(R)$ 是单环, 由其可逆元生成. 但对每个可逆元 $\rho$, $I_{\rho }\in G$, 故 $\rho \in R[G]$. 因此 $R[G]=C_L(R)$ 是单环, 即 $G$ 正则.

因此 $G/G_0$ 同构于 $k$ 的一个自同构群, 其不动域记为 $K$. 由前述证明可得以下格结构:$$Rk=C_L(R[G])S={\mathrm{Rng}}_L(G)Z(Rk)RZ(S)kZ(R)K=Z(S)\cap kR\cap k=Z(R)\cap k$$

若 $R\cap k\ne K$, 则由于 $k$ 是 $R\cap k$ 的 Galois 扩张, 存在 $k$ 的自同构 $\sigma$ 保持 $R\cap k$ 不动, 但对某些 $\alpha \in K$ 满足 $\sigma (\alpha )\ne \alpha$. 取任意可逆元 $\rho \in R[G]$, 半线性变换 $⟨\rho ,\sigma ⟩=\varphi$ 确定一个自同构 ${\Lambda }_{\varphi }$, 它保持 $R$ 不动但不保持 $S$. 这不可能. 因此 $R\cap k=K$.

此时 $k_{1}k$ 是 $Z(Rk)$ 的子域, 且 $Rk\cong R{\otimes }_{k_1}{k}_{1}k$. 故 $k_{1}k=Z(Rk)$, 这意味着 $k_1=Z(S)$. 由于 $R\subseteq S$, 得 $R=S$. 证毕.

$\square$

定理 8.3.5 (有限单环的 Galois 理论基本定理). 设 $L=M_n(k)$, $k={\mathbb{F}}_{p^t}$, $A=\mathrm{Aut}(L)$. 令

$$S^{\ast }=\{S\mid S\text{ 是 }L\text{ 的单子环}\}$$$$G^{\ast }=\{G\mid G\text{ 是 }A\text{ 的正则子群}\}.$$

则对应

$$\begin{array}{c}{\mathrm{Aut}}_A:S^{\ast }\to G^{\ast }\\ {\mathrm{Rng}}_L:G^{\ast }\to S^{\ast }\end{array}$$

构成 Galois 对应, 即:

(a) ${\mathrm{Rng}}_L\circ {\mathrm{Aut}}_A={\mathrm{id}}_{S^{\ast }}$, ${\mathrm{Aut}}_A\circ {\mathrm{Rng}}_L={\mathrm{id}}_{G^{\ast }}$;

(b) 设 $G_1,G_2\in G^{\ast }$, $S_1,S_2\in S^{\ast }$ 在上述映射下对应. 则

$$G_1\le G_2⟺S_2\subseteq S_1.$$

证明. 此定理由引理 8.3.3 和 8.3.4 直接得出.

$\square$