0. 前置

记号

在小学时, 三种括号 $(),[],\{\}$ 都表达修改运算优先级的含义. 然而随着数学概念的增加, 使用三种记号表达相同的意思实在低效. 因此在这里 (包括在许多数学文献中), 仅小括号可表此含义, 中括号与大括号都将作他用.

规定自然数 $\mathbb{N}$ 包含零. 用 $U\setminus A$ 表达补集 (国内教科书中常写作 ${\complement }_{U}A$).

集合

集合论可以作为当今数学的基础. 在中学时接触的集合概念实则身兼多职. 将这多个用途拆解开来, 对理解大有好处.

首先, 集合用于把对象分类. 例如自然数 $\mathbb{N}$ 是集合, 实数的有序对 $\{(x,y)\mid x,y:\mathbb{R}\}$, 记作 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, 也是集合. 我们永远都不会考虑 $1:\mathbb{N}$ 是否等于 $(\pi ,e):\mathbb{R}\times \mathbb{R}$. 这个问题不是数学问题而是数学基础问题. 换句话说, 这两个东西是否是同一个, 取决于数学基础 (例如 ZFC 集合论) 的实现方式. 在 ZFC 集合论中, 自然数 $1=(\varnothing ,\varnothing )$, 因为它实现自然数的方式与有序对的方式使得这两个对象恰好相同. 而将数学对象分类, 就是保证我们永远也不会遇到这种问题, 从而无需关心数学基础的方式.

谈论一个数学对象 $a$ 之前, 必须先指定它的所属的分类集合 $A$, 写作 $a:A$. 例如在几何中, 我们不说 “假设有一个对象 $e$, 如果它是线段…” 而只会说 “假设有一条线段 $e$”. 因此, 任何对象都只属于一个集合. 数 $1:\mathbb{N}$ 与 $1:\mathbb{Q}$ 不是同一个数学对象, 只是我们有函数 $i:\mathbb{N}\to \mathbb{Q}$, 当我们有一个自然数而需要将它当作有理数时就利用这函数进行转换, 并且通常不会写出这个函数罢了. 例如在 ZFC 集合论中, $1:\mathbb{Q}$ 的实现是整数的有序对的无限集合 $\{(1,1),(2,2),(3,3),\dots \}$, 显然并不等于自然数 $1$.

其次, 如果给定一个集合 $A$, 集合还用于划出其中的一些元素. 例如自然数集合 $\mathbb{N}$ 中可以将偶数划出来作为一个子集. 与集合不同, 子集可以描述交、并、补等概念, 并且某个集合中的一个元素可以属于多个子集. 描述一个子集, 只需要对集合中每个元素规定其是否在这个子集中. 如果说 $\Omega =\{真,假\}$ 是真值的集合, 那么子集就相当于函数 $A\to \Omega$. 我们用 $x\in U$ 表示 $x$ 属于此子集. 全体子集的集合写作 $\mathcal{P}(A)$, 称作幂集.

相等与同构

基数

基数是描述集合中元素多少的方式.

选择公理

在代数中经常要用到选择公理. 假设有集合 $A$, 对于每个元素 $a:A$ 都赋予一个集合 $B(a)$. 如果对于每个 $a$, $B(a)$ 都非空, 那么就一定有办法为每个元素 $a$ 选择 $b(a):B(a)$. 直觉上这一点是显然的. 然而 $A$ 有可能具备无限多的元素, 而通常逻辑中只允许证明有限长, 因此不加入额外假设是无法证明此事的. 因此, 我们将它作为一条公理. 我们主要用到的是选择公理的一条重要推论.

引理 0.1 (Zorn). (...)

这可能略显枯燥. 读者无需强记, 在实际运用时再来翻阅即可. Zorn 引理主要用于构造 “极大” 的数学对象, 例如向量空间的基, 等等.