2. 凝聚态交换群、上同调

本节研究凝聚态交换群范畴及其中的上同调.

定理 2.1. $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{b}$ 是完备、余完备的 Abel 范畴, 且满足 (AB6) 和 (AB4*), 分别指滤余极限与乘积交换$$\prod _{j\in J}\underset{i\in I_j}{\mathrm{colim}}{M}_i=\underset{(i_j)\in {\prod }_{j\in J}{I}_j}{\mathrm{colim}}\prod _{j\in J}{M}_{i_j}$$和乘积正合. (不难验证在完备时上式等价于词条 Abel 范畴中的 (AB6).)

证明. 完备、余完备显然. (AB6) 式子右边到左边有自然映射, 而等号在 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 中已经成立, 因为滤余极限与乘积都可以逐开集取, 而等号在 $\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$ 中成立. 至于 (AB4*), 只需证乘积保持满射. 这也在 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 中成立, 因为 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 被其投射对象生成, 于是可以对每个 $X$ 投射作 $\mathrm{Hom}(X,-)$ 之后在 $\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$ 中验证.

$\square$

先作自由交换群, 即忘却函子 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{b}\to \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 的左伴随.

定理 2.2. 忘却函子 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{b}\to \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 有左伴随, 记作 $X\mapsto \mathbb{Z}[X]$, 称为凝聚态集 $X$ 生成的自由交换群.

证明. 直接构造 $\mathbb{Z}[X]=(S\mapsto \mathbb{Z}[X(S)]{)}^{\#}$. 用伴随函子定理亦可.

$\square$

由于忘却函子保持滤余极限和满射, 其左伴随保持紧对象和投射对象, 于是

推论 2.3. $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{b}$ 被紧投射对象生成. 事实上它被 $\mathbb{Z}[S]$, $S\in \mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$, 生成.

显然对 $M,N\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{b}$, $\underline{\mathrm{Hom}}(M,N)\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{b}$. $\underline{\mathrm{Hom}}(M,-)$ 也有左伴随: 同样, 直接构造 $M\otimes N=(S\mapsto M(S)\otimes N(S){)}^{\#}$ 或者用伴随函子定理, 都可以证明. 容易发现对凝聚态集 $X,Y$, $\mathbb{Z}[X]\otimes \mathbb{Z}[Y]=\mathbb{Z}[X\times Y]$.

由于 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{b}$ 被紧投射对象生成, 可以用投射消解定义这些函子的导出, 即 ${\otimes }^L$, $R\underline{\mathrm{Hom}}$, $R\mathrm{Hom}$. 由此可作上同调:

定义 2.4. 对 $X\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$, $M\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{b}$, 我们和在一般的意象中一样, 记$${\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X,M)={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X,M)={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{b}}(\mathbb{Z}[X],M)\in \mathsf{A}\mathsf{b},$$也称其为 $M$ 在 $X$ 上的 (整体) 截面, 实际上就是 $M$ 通过 $M(S\to X)=M(S)$ 看作俯景 $\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}/X$ 上层的整体截面. 由此定义 (凝聚态) 上同调为$$R{\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X,M)=R{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{b}}(\mathbb{Z}[X],M).$$无歧义时常省略下标 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$.

本节接下来就计算一些具体情形.

定理 2.5. 对 $M\in \mathsf{A}\mathsf{b}\hookrightarrow \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}\mathsf{A}\mathsf{b}$ (视为离散交换群), $X\in \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$, $$R{\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X,M)=R{\Gamma }_{层}(X,M),$$其中右边是 $M$ 视为拓扑空间 $X$ 上常层的层上同调. 此时 $R\Gamma (-,M)$ 把滤极限变成滤余极限.

证明中需要超覆盖的概念.

回忆. 对有限完备范畴 $\mathcal{C}$ (一般为意象) 的对象 $X_{-1}$, 称增广单纯对象 $X_{\bullet }\to X_{-1}$ 为 $X_{-1}$ 的超覆盖, 意思是对所有 $n\ge -1$, 自然映射 $X_{n+1}\to ({\mathrm{cosk}}_n{X}_{\le n}{)}_{n+1}$ 都是满射.

证明. 先作自然映射. 为此作伴随对 $({\pi }_{\ast },{\pi }^{\ast }):\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}/X\rightleftarrows \mathsf{S}\mathsf{h}(X)$, $${\pi }^{\ast }\mathcal{G}={\left((s:S\to X)\mapsto {\Gamma }_{层}(S,s^{\ast }\mathcal{G})\right)}^{\#},$$$$({\pi }_{\ast }\mathcal{F})(U)={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}/X}(U,\mathcal{F}).$$容易发现 ${\Gamma }_{层}(X,{\pi }_{\ast }\mathcal{F})={\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X,\mathcal{F})$, ${\pi }^{\ast }$ 正合且 ${\pi }^{\ast }M=M$, 故有自然映射$$R{\Gamma }_{层}(X,M)\to R{\Gamma }_{层}(X,R{\pi }_{\ast }{\pi }^{\ast }M)=R{\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X,M).$$

由叠计划 08N8, 伴随对 $(\beta ,F):\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}\rightleftarrows \mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$, 其中 $F$ 为忘却, 给出 $\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$ 中对象的典范单纯消解, 其各项都形如 $\beta A$. 将其记作 ${\beta }_{\bullet }X\to X$, 则它是超覆盖. 由叠计划 01GA, 对此作 $\mathbb{Z}[-]$ 即得 $\mathbb{Z}[X]$ 的典范投射消解, 于是有典范的复形来计算凝聚态上同调, 即$$R{\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X,M)={\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}({\beta }_{\bullet }X,M),$$其中右边为余单纯对象取交错和复形.

现在开始计算. 先算 $X\in \mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}$ 情形. 设 $X={\lim }_i{X}_i$, $X_i\in \mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}$. 则对于它们作为拓扑空间的层范畴, 有 $\mathsf{S}\mathsf{h}(X)={\mathrm{colim}}_i\mathsf{S}\mathsf{h}(X_i)$, 而有限集没有正次数上同调, 故$$R{\Gamma }_{层}(X,M)=\underset{i}{\mathrm{colim}}R{\Gamma }_{层}(X_i,M)=\underset{i}{\mathrm{colim}}\mathrm{Hom}(X_i,M)=\mathrm{Hom}(X,M),$$$X$ 上的 $M$ 值连续函数 (即局部常函数) 群. 要证凝聚态上同调也是这样, 我们将超覆盖 ${\beta }_{\bullet }X\to X$ 写成有限集超覆盖的滤极限 ${\lim }_i(X_{i,\bullet }\to X_i)$. 由于 $\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}$ 中每个映射都是 $\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}$ 中映射的滤极限, 以及超覆盖都是其有限截断的极限 ($X_{\bullet }={\lim }_n{\mathrm{cosk}}_n{X}_{\le n}$), 不难发现这可以做到. 这样$$R{\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X,M)={\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X_{\bullet },M)=\underset{i}{\mathrm{colim}}{\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X_{i,\bullet },M)=\underset{i}{\mathrm{colim}}{\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X_i,M)=\mathrm{Hom}(X,M).$$其中第三个等号是因为有限集也没有正次数凝聚态上同调.

上面不仅证明了 $X\in \mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}$ 情形的定理, 还得到此时 $R\Gamma (X,M)$ 集中在 $0$ 处, 且关于分量 $X$ 将滤极限变为滤余极限.

于是对 $X\in \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$ 及超覆盖 $X_{\bullet }\to X$, 只要 $X_{\bullet }\in \mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}$, 便有$$R{\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X,M)={\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X_{\bullet },M).$$这样立即得到 $R{\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(-,M)$ 将滤极限变为滤余极限: 如 $X=\lim X_i$, 则 ${\lim }_i({\beta }_{\bullet }{X}_i\to X_i)$ 为 $X$ 的由 $\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}$ 中对象组成的超覆盖, 从而$$R{\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X,M)=\Gamma (\underset{i}{\lim }{\beta }_{\bullet }{X}_i,M)=\underset{i}{\mathrm{colim}}\Gamma ({\beta }_{\bullet }{X}_i,M)=\underset{i}{\mathrm{colim}}\Gamma (X_i,M).$$

最后来对一般的 $X\in \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$ 证明定理. 现在只需证对 $Y\in \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$, $f:Y\twoheadrightarrow X$, 以 $f_{\bullet }:Y_{\bullet }\to X$ 记其 Čech 单纯对象, 则对 $\mathcal{F}\in {\mathsf{D}}^{+}(X)$, $$R\Gamma (X,\mathcal{F})=R\Gamma (Y_{\bullet },f_{\bullet }^{\ast }\mathcal{F}),$$即紧 Hausdorff 拓扑空间层上同调能下降. 一旦有这件事, 取 $\mathcal{F}=M$, 取 $Y$ 投射有限, 由于这样 $Y_{\bullet }$ 各项都投射有限, 利用之前证过的情形即得欲证.

这个下降主要是因为拓扑空间的紧合基变换 (叠计划 09V6). 我们分几步证明之.

•	如果 $f$ 有截面, 下降显然成立.
•	对 $g:X^{\prime }\to X$ 以及 $\mathcal{G}\in {\mathsf{D}}^{+}(X^{\prime })$, 如证明了对基变换 $f_{\bullet }^{\prime }:Y_{\bullet }^{\prime }\to X^{\prime }$ 有$$R\Gamma (X^{\prime },\mathcal{G})=R\Gamma (Y_{\bullet }^{\prime },f_{\bullet }^{\prime \ast }\mathcal{G}),$$则对 $\mathcal{F}=R{g}_{\ast }\mathcal{G}$ 上式成立. 这是因为紧合基变换. 于是如果 $f^{\prime }:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ 有截面, 则对从 $X^{\prime }$ 导出前推来的东西, 下降成立.
•	$\mathcal{F}=\mathrm{Tot}(R{f_{\bullet }}_{\ast }{f}_{\bullet }^{\ast }\mathcal{F})$. 这是因为可以逐茎验证, 再用一次紧合基变换就化为 $X$ 为单点情形, 而此时 $f$ 有截面.
•	对每个 $n$, $R{f_n}_{\ast }{f}_n^{\ast }\mathcal{F}$ 是从 $Y_n=Y^{{\times }_X(n+1)}$ 推来的, 而 $Y\to X$ 基变换到 $Y_n$ 之后显然有截面, 所以对 $R{f_n}_{\ast }{f}_n^{\ast }\mathcal{F}$ 下降都成立, 故对 $\mathcal{F}$ 亦成立.

于是紧 Hausdorff 空间的层上同调能沿着满射下降. 这样终于证明了定理.

$\square$

注 2.6. 该定理是 [Condensed] 的定理 3.2. 这里给的证明后半段与 [Condensed] 中的不同, 应当类似于挠系数平展上同调的 h 下降的证明, 虽然我没读过后者. 它对超下降理应也是对的, 但可能麻烦些, 如有读者有简短证明欢迎写在这. 写该讲义时我发现叠计划 09WY 有该定理的加强. 沿用上面的记号, 叠计划中证了 $R{\pi }_{\ast }{\pi }^{\ast }=\mathrm{id}$. 我并未查看那里的证明; 其实上面的证明只要前半段稍加修改也可得出此事.

例 2.7. 对集合 $I$ 以 ${\mathbb{T}}^I$ 记 $I$ 个 $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ 的乘积, 为紧 Hausdorff 空间. 则由定理 2.5 以及 $\mathbb{T}$ 的通常上同调, 有$$H^n({\mathbb{T}}^I,\mathbb{Z})={\bigwedge }^n{\mathbb{Z}}^{\oplus I}.$$

习题 2.8. 对 $X,Y\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$, 证明$$\mathbb{Z}[X]{\otimes }^L\mathbb{Z}[Y]=\mathbb{Z}[X\times Y].$$

定理 2.9. 对 $X\in \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$, $$R{\Gamma }_{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}(X,\mathbb{R})=C(X,\mathbb{R}),$$即它集中在 $0$ 处, 为 $X$ 到 $\mathbb{R}$ 的连续函数环. 更准确地, 对超覆盖 $X_{\bullet }\to X_{-1}=X$, $X_{\bullet }$ 各项投射有限, Banach 空间复形$$0\to C(X_{-1},\mathbb{R})\to C(X_0,\mathbb{R})\to C(X_1,\mathbb{R})\to \cdots$$有以下定量正合性: 对 $ϵ>0$ 以及闭链 $f\in C(X_i,\mathbb{R})$, 都存在 $g\in C(X_{i-1},\mathbb{R})$ 满足 $dg=f$, $\Vert g\Vert \le (1+ϵ)\Vert f\Vert$, 其中 $\Vert \cdot \Vert$ 为上确界范数.

注 2.10. 对于掌握经典层论的读者, 这个结果在预料之中, 因为实值连续函数环层就是没有上同调.

证明. 先设 $X_i$ 都有限. 那么超覆盖分裂, 指从有限全序集反范畴 ${\Delta }^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\cup \{\varnothing \}$ 出发的函子延拓至带基点 (基于最小值点) 的有限全序集反范畴, 其中自然嵌入是另加基点. 由 Dold–Kan 这给出以上链复形的零伦, 且该零伦 $h_i:C(X_i,\mathbb{R})\to C(X_{i-1},\mathbb{R})$ 为沿着特定映射 $X_{i-1}\to X_i$ 的拉回. 于是只要 $df=0$ 就有 $dhf=f$, 且 $\Vert hf\Vert \le \Vert f\Vert$.

再设 $X_i$ 都投射有限. 那么可将其写成有限情形的滤余极限, 即 $X_i={\mathrm{colim}}_j{X}_{j,i}$, $X_{j,\bullet }\to X_{j,-1}=X_j$ 是有限集的超覆盖. 取滤余极限即得具有同样的定量正合性的复形$$0\to LC(X_{-1},\mathbb{R})\to LC(X_0,\mathbb{R})\to LC(X_1,\mathbb{R})\to \cdots$$其中 $LC$ 指局部常函数. 该复形 $i$ 处的边缘算子 $d_i$ 为 $i+2$ 个拉回的交错和, 算子范数不大于 $i+2$, 于是可对其完备化得到连续函数复形. 我们来证明定量正合性. 取闭链 $f\in C(X_i,\mathbb{R})$. 对 $ϵ>0$, 取局部常 $f_0$ 使得 $\Vert f-f_0\Vert \le ϵ\Vert f\Vert$. 则由于 $d{f}_0=-d(f-f_0)$ 是局部常且范数不大于 $(i+2)ϵ\Vert f\Vert$ 的闭链, 由上, 存在局部常且范数不大于 $(i+2)ϵ\Vert f\Vert$ 的 $f_0^{\prime }$ 使得 $d{f}_0^{\prime }=d{f}_0$. 以 $f_0-f_0^{\prime }$ 换 $f_0$, $\frac{ϵ}{i+3}$ 换 $ϵ$, 得局部常闭链 $f_0$ 使得 $\Vert f-f_0\Vert <ϵ\Vert f\Vert$. 再由上取局部常且范数不大于 $\Vert f_0\Vert$ 的 $g_0$ 使得 $d{g}_0=f_0$. 这样相当于取出了 $g_0\in LC(X_{i-1},\mathbb{R})$ 满足$$\Vert g_0\Vert \le (1+ϵ)\Vert f\Vert ,\Vert f-d{g}_0\Vert \le ϵ\Vert f\Vert .$$以 $f-d{g}_0$ 作为上面的 $f$ 用上述操作得到 $g_1$, 再以 $f-d{g}_0-d{g}_1$ 作为上面的 $f$ 得到 $g_2$, 这样迭代下去便取出一列 $g_0,g_1,\dots$, 满足$$\Vert g_n\Vert \le (1+ϵ){ϵ}^n\Vert f\Vert ,\Vert f-\sum _{j=0}^{n}d{g}_j\Vert \le {ϵ}^{n+1}\Vert f\Vert .$$于是级数 ${\sum }_{j=0}^{\infty }{g}_j$ 收敛. 令 $g$ 为其和, 并稍稍改变 $ϵ$, 即有 $\Vert g\Vert \le (1+ϵ)\Vert f\Vert$, $dg=f$.

现在考虑 $X$ 紧 Hausdorff, $X_i$, $i\ge 0$ 投射有限的情形. 取非零闭链 $f\in C(X_i,\mathbb{R})$. 对每个 $x\in X$, 对纤维 $f_x\in C(X_i{\times }_X\{x\},\mathbb{R})$ 使用已证情形, 得存在 $g_x\in C(X_{i-1}{\times }_X\{x\},\mathbb{R})$ 满足 $\Vert g_x\Vert \le (1+ϵ)\Vert f_x\Vert$, $d{g}_x=f_x$. 用 Tietze 延拓将其延拓至 ${\tilde{g}}_x\in C(X_{i-1},\mathbb{R})$, 满足 $\Vert {\tilde{g}}_x\Vert \le \Vert g_x\Vert$. 由于 $d{g}_x=f_x$, 存在开集 $U_x\ni x$ 使得 $\Vert f-d{\tilde{g}}_x{\Vert }_{X_i{\times }_X{U}_x}\le ϵ\Vert f\Vert$. $\{U_x{\}}_{x\in X}$ 组成紧 Hausdorff 空间 $X$ 的开覆盖. 取受制于该开覆盖的单位分解, 并用它线性组合对应的 ${\tilde{g}}_x$, 便得到 $g_0\in C(X_{i-1},\mathbb{R})$ 满足$$\Vert g_0\Vert \le (1+ϵ)\Vert f\Vert ,\Vert f-d{g}_0\Vert \le ϵ\Vert f\Vert .$$我们故技重施, 迭代、求和, 便得到所求的 $g$.

$\square$

注 2.11. 按理说对 $X_{\bullet }\to X$ 仅仅紧 Hausdorff 也有一样的结论, 但大概用处不大.

注 2.12. Scholze 在 [PvC] 中说「我每页用十次选择公理」, 诚不我欺.