附录: 集合论困难之解决

这里的集合论困难在于 $\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$ 太大, 不是真的景, 于是在 ZFC 中并不能写出层范畴 $\mathsf{S}\mathsf{h}(\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s})$. 为此作适当的截断.

定义 1. 称基数 $\kappa$ 为强极限基数, 指对任意 $\lambda <\kappa$, 都有 $2^{\lambda }<\kappa$.

强极限基数足够多:

记号 2. 记 ${\beth }_0={\aleph }_0$, ${\beth }_{\alpha +1}=2^{{\beth }_{\alpha }}$, 对极限序数 $\alpha$ 记 ${\beth }_{\alpha }={\sup }_{\beta <\alpha }{\beth }_{\beta }$. 则显然对极限序数 $\alpha$, ${\beth }_{\alpha }$ 都是强极限基数. 由此立得对任意给定基数, 都存在大于它的强极限基数. 甚至于对任意基数 $\lambda$, 都存在强极限基数 $\kappa$ 满足共尾类 $\mathrm{cf}(\kappa )>\lambda$: 取 $\kappa ={\beth }_{{\lambda }^{+}}$ 即可, 其中 ${}^{+}$ 表示后继基数.

用它即可截断 $\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$.

定义 3. 对强极限基数 $\kappa$, 定义 ${\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa }=\{S\in \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}\mid |S|<\kappa \}$, ${\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }=\mathsf{S}\mathsf{h}({\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa })$.

${\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa }$ 本质小: 显然 ${\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa }\cap V_{\kappa }$ 是其小骨架, 其中 $V_{\kappa }$ 为 von Neumann 层级. 所以以上定义无集合论困难. 类似定义 ${\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}}_{\kappa }$ 与 ${\mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}}_{\kappa }$. 由于经典事实: 对 $X\in \mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$, $|\beta X|\le 2^{2^{|X|}}$, 容易发现$${\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }=\mathsf{S}\mathsf{h}({\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}}_{\kappa })=\mathsf{S}\mathsf{h}({\mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}}_{\kappa }).$$

尽管像在叠计划中一样每次在固定的截断中做事也是一个办法, 但此处我们还是想要统一的 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$. 为此观察 ${\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa }$ 对 $\kappa$ 的函子性. 依定义, 对强极限基数 $\kappa <{\kappa }^{\prime }$, 显然含入函子 ${\iota }_{\kappa ,{\kappa }^{\prime }}:{\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa }\hookrightarrow {\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{{\kappa }^{\prime }}$ 连续, 于是有意象的几何态射 $({\iota }^{\ast },{\iota }_{\ast }):{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }\rightleftarrows {\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{{\kappa }^{\prime }}$, 显式写出即为$${\iota }^{\ast }\mathcal{F}={\left(S\mapsto \underset{S\to T\in {\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa }}{\mathrm{colim}}\mathcal{F}(T)\right)}^{\#}.$$而用 $\mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$ 写则无需层化, 因为覆盖很简单. 由此不难验证 ${\iota }_{\ast }{\iota }^{\ast }\cong \mathrm{id}$, ${\iota }^{\ast }$ 完全忠实. 于是定义

定义 4. $$\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}=\underset{\kappa ,{\iota }^{\ast }}{\mathrm{colim}}{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }.$$

这样就摆脱了集合论困难. 这个定义的 ZFC 中书写方法大致是直接令 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 由形如 $(\kappa ,\mathcal{F})$, $\kappa$ 为强极限基数, $\mathcal{F}\in {\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }$, 这样的有序对组成, 然后两个对象的 $\mathrm{Hom}$ 为作 ${\iota }^{\ast }$ 统一到第一个分量较大者之后作 $\mathrm{Hom}$. 对每个强极限的 $\kappa$, 有显然的伴随对 $({\iota }^{\ast },{\iota }_{\ast }):{\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }\rightleftarrows \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$. 通过 ${\iota }^{\ast }$, 我们将 ${\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }$ 视为 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 的完全子范畴, 认为 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}=\bigcup {\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }$.

注 5. 由于 ${\iota }^{\ast }$ 总是保持余极限, 所以 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 显然余完备. 完备性则稍复杂些:

对于强极限基数 $\kappa$, 记 $\lambda =\mathrm{cf}(\kappa )$, 则 ${\iota }_{\kappa }^{\ast }$ 与 $\lambda$-小的极限交换. 这是因为对于 $\mathcal{F}\in {\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }$, $S\in \mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}$, $$({\iota }^{\ast }\mathcal{F})(S)=\underset{S\to T\in {\mathsf{E}\mathsf{x}\mathsf{D}\mathsf{i}\mathsf{s}\mathsf{c}}_{\kappa }}{\mathrm{colim}}\mathcal{F}(T);$$容易发现等号右边是 $\lambda$-滤余极限, 与 $\lambda$-小的极限交换. 注意我们预先甚至不知道先 ${\iota }^{\ast }$ 再逐开集取极限, 得到的东西仍然属于 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$; 而刚才一举证明了其属于 ${\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }$.

于是 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 完备. 由此可以得到对 $X,Y\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$, $\underline{\mathrm{Hom}}(X,Y)\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$. 这是因为可将 $X$ 写成米田层的余极限, 可设 $X\in \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$; 再将 $Y$ 写成米田层的滤余极限, 由紧性将其提到 $\underline{\mathrm{Hom}}$ 外面, 可设 $Y\in \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$. 此时 $\underline{\mathrm{Hom}}(X,Y)\in \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$. (这一段证明如可以的话最好改一改, 使其能够一并证明 $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}(\mathcal{C})$ 的情况, 虽然按理说关于可表现范畴的事情不难由 $\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$ 的情形推出.)

注 6. 注意 ${\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}=\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{d}({\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}})$ 是可表现范畴. $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 的另一个写法是 ${\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ 到 $\mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}$ 的可达函子中满足层公理者. 下证之.

一方面, 如果 $\lambda$ 为正则基数, $\mathcal{F}$ 为 $\lambda$-可达, 则对于 $\kappa >\lambda$ 强极限, $\mathcal{F}\in {\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }$. 这是因为 ${\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ 中的 $\lambda$-紧对象为有限集的 $\lambda$-小极限 (因为一般地 $\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{d}(\mathcal{C})$ 中 $\lambda$-紧对象是 $\mathcal{C}$ 中对象的 $\lambda$-小余极限), 显然属于 ${\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}}_{\kappa }$. 再由可达的定义以及 ${\iota }^{\ast }$ 的显式写法即知 $\mathcal{F}\in {\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }$.

另一方面, 如果 $\mathcal{F}\in {\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }$, 则对于 $\lambda >\kappa$ 正则, $\mathcal{F}$ 为 $\lambda$-可达. 这主要是因为 ${\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}}_{\kappa }^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\subseteq {\mathsf{c}\mathsf{p}\mathsf{t}}_{\lambda }({\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}})$, 其中 ${\mathsf{c}\mathsf{p}\mathsf{t}}_{\lambda }$ 表示 $\lambda$-紧对象 (因为势小于 $\kappa$ 的投射有限集显然都能写成有限集的 $\lambda$-小极限). 这里实际上要证明对任一 $U\in {\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ 都有$$\mathcal{F}(U)=\underset{{\mathsf{c}\mathsf{p}\mathsf{t}}_{\lambda }({\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}})\ni T\to U}{\mathrm{colim}}\mathcal{F}(T).$$由 ${\iota }^{\ast }$ 的定义, $\mathcal{F}$ 本来是上式的层化, 故只需证上式确实关于 $U$ 满足层公理. 由于 $\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}$ 中覆盖都是有限的, 层公理仅涉及有限极限, 而 $\mathcal{F}$ 为 ${\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa }$ 中对象的滤余极限, 故只需证 $\mathcal{F}=h_S$, $S\in {\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa }$ 的情形. 事实上此时有$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}(U,S)=\underset{U\to T\in {\mathsf{c}\mathsf{p}\mathsf{t}}_{\lambda }({\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}{)}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}{\mathrm{colim}}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}(T,S),$$证明见命题 8, 将其中的 ${\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa }$ 都改为 ${\mathsf{c}\mathsf{p}\mathsf{t}}_{\lambda }({\mathsf{P}\mathsf{r}\mathsf{o}\mathsf{F}\mathsf{i}\mathsf{n}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}{)}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ 即可, 因为后者为 $\lambda$-滤的.

上面我把滤与余滤都说成滤, 读者可自行根据上下文判断.

还有一些麻烦事.

习题 7. 考虑 $X=(\{0,1\},\{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\})\in \mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$, 即集合 $\{0,1\}$, $1$ 是闭点 $0$ 不是闭点. 证明$$(S\mapsto {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(S,X))\notin \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}.$$

所幸

命题 8. 对 $T_1$ 拓扑空间 $X$, $$(S\mapsto {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(S,X))\in \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}.$$

证明. 取强极限的 $\kappa$ 使 $\mathrm{cf}(\kappa )>|X|$, 我们来证明 $h_X\in {\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }$. 这里需要证对 $S\in \mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}$, $${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(S,X)=\underset{S\to T\in {\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa }}{\mathrm{colim}}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(T,X).$$

显然右边到左边的自然映射是单的: 如 $f:S\to T$, $f^{\prime }:S\to T^{\prime }$, $t:T\to X$, $t^{\prime }:T^{\prime }\to X$ 满足 $t\circ f=t^{\prime }\circ f^{\prime }$, 则考虑 $(f,f^{\prime }):S\to T\times T^{\prime }$, 它的像集属于 ${\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa }$, 且到 $X$ 有唯一自然的映射, 穿过 $t$ 与 $t^{\prime }$, 故 $t$ 与 $t^{\prime }$ 在上式右边中已经相等.

于是只需证每个映射 $S\to X$ 都穿过某个 ${\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa }\ni T\to X$, 即证明存在 ${\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa }\ni T\to X$ 使得 $S{\times }_{T}S\to X$ 的两个自然映射相等, 即 $\mathrm{im}(S{\times }_{T}S\to X\times X)\subseteq {\Delta }_X$. 记 $\lambda =|X{|}^{+}$, 则范畴 $\{S\to T\to X\mid T\in {\mathsf{C}\mathsf{H}\mathsf{a}\mathsf{u}\mathsf{s}}_{\kappa }\}$ 为 $\lambda$-滤的. 所以由于 $|X\times X|<\lambda$, 如能对各个 $(x,y)\notin {\Delta }_X$ 找到合适的 $T$, 便能找到统一的合适的 $T$. 于是只需对每对 $x\ne y$ 说明存在 $S\to T\to X$ 使得 $(x,y)\notin \mathrm{im}(S{\times }_{T}S\to X\times X)$. 记$$S_{x,y,T}=(S{\times }_{T}S){\times }_{X\times X}\{(x,y)\},$$则对每个 $T$ 它都是 $S\times S$ 的闭子集, 都紧 Hausdorff, 而对于 $T$ 取滤极限就会得到 $(S{\times }_{S}S){\times }_{X\times X}\{(x,y)\}=\varnothing$, 故由紧性对某个 $T$ 它已经空. 这样就做完了.

$\square$

注 9. 那么不 $T_1$ 的拓扑空间怎么办呢? Scholze 在 [PvC] 中说, 我们不应将其看成凝聚态集, 而应看成凝聚态位象之类的东西. 位象的意思是 $0$-意象; 位象构成可表现范畴, 故由注 1.2 可做出凝聚态位象这种东西. 常见的不 $T_1$ 的拓扑空间无非是谱空间, 即环的素谱; 它不应看成拓扑空间, 而应看成位象, 然后看成常值凝聚态位象.

另外, 我在本节正文中曾说「$\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 几乎就是个意象」, 这是因为

定理 10. $\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}$ 完备、余完备, 且满足意象的 Giraud 公理中除去可表现之外的其他每条. 即

•	余极限都万有.
•	余积都无交.
•	等价关系都有效.

证明. 之前已经证过完备、余完备. 下证这些公理.

余极限都万有, 指的是对任意映射 $f:Y\to X$, 拉回函子 $f^{\ast }:\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}/X\to \mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}/Y$ 保持余极限.

余积都无交, 指的是对任意 $X$, $Y$, $\varnothing =X{\times }_{X\bigsqcup Y}Y$.

等价关系都有效, 指的是对任意 $X$ 以及等价关系 $R\subseteq X\times X$, 定义 $X/R=\mathrm{coeq}(R\rightrightarrows X)$, 则 $R=X{\times }_{X/R}X$.

这些都是显然的, 因为每个 ${\mathsf{C}\mathsf{o}\mathsf{n}\mathsf{d}}_{\kappa }$ 作为意象都有这些性质, 而 ${\iota }^{\ast }$ 保持有限极限与任意余极限.

$\square$

注 11. 但它终究不是意象, 因为它不可表现.

有兴趣的读者可以练些瑜伽:

习题 12. 对一般概形的投射平展景以及其他一些大景作类似的「层范畴」.

下文中难免还会有在集合论上信口胡言之处, 例如下一节定理 2.2 的证明. 相信掌握本节的读者能轻易将其合法化.

术语翻译

强极限基数 • 英文 strong limit cardinal

共尾类 • 英文 cofinal class

可表现 • 英文 presentable

可达 • 英文 accessible

位象 • 英文 locale

谱空间 • 英文 spectral space