3. 局部紧交换群

本节研究局部紧交换群作为凝聚态交换群的行为.

定理 3.1. 为局部紧交换群. 则将其视为凝聚态交换群的内 函子等于它们作为拓扑群的同态群赋予紧开拓扑, 即

证明. 对局部紧拓扑空间 , 由于 定义为其在 上取值为 , 由紧开拓扑的性质不难发现 就是 赋予紧开拓扑.

由对交换群 典范的右正合列其中第一个映射为 , 第二个为 , 即得对凝聚态交换群也有如此右正合列. 所以其中拓扑空间和拓扑群的 都赋予紧开拓扑.

还可以计算 . 我们先算些具体情况, 然后用局部紧交换群的结构做化归. 后文其实不会用到一般局部紧交换群的结果, 从而并不用到局部紧交换群结构定理.

定理 3.2. 对集合 的乘积. 则

1.

对离散交换群 , 自然映射 是同构.

2.

. 事实上对一般的紧交换群 , .

证明. 先证 1. 先看 有限情形. 此时有限直和拿到 外面, 不妨设 , 即要证 , 也即 . 为此我们对映射 用附录中的典范消解. 由其典范性, 这也是作为凝聚态交换群的消解, 于是得链复形同态 , 其中 是链复形的指标. 对其作用 , 再在紧 Hausdorff 空间 上取值, 得双复形同态 , 左边的全复形是 , 右边的是 . 要证其在全复形上是拟同构, 只需证其每一列, 即固定每个 时, 是拟同构. 这归结为证明对 , , 等号右边是 , 故只需证 . 这便是定理 2.5 和常层上同调同伦不变性的显然推论.

再看 无限情形. 此时直接对 用附录的典范消解, 则同样地 被一些 消解; 由定理 2.5, 后者是 有限情形的滤余极限, 故 也是 有限情形的滤余极限, 即得无限情形结论.

再证 2. 由典范消解以及定理 2.9, 由 Banach 空间复形计算. 现在考虑该复形的两个自映射 , 前一个指逐项乘以 , 后一个指沿着 拉回. 由附录的推论 11, 它俩典范同伦, 即存在 , 诱导以上复形的映射 , 使得 . 那么对闭链 , , 即对上式右边第一个 再用上式代入, 这样迭代 次, 得由于 为沿着 拉回实值函数 , 不改变上确界范数, 故上式第一项在 时范数趋于 , 从而取极限得到即每个闭链都恰当, 以上复形零调.

推论 3.3.

1.

对离散交换群 , .

2.

.

证明. 利用短正合列 和定理立得.

推论 3.4. 对局部紧交换群 , 集中在上同调次数 .

证明. 由局部紧交换群分类定理, 参见 [Ru90], 定理 2.4.1, 局部紧交换群都是离散群、紧群、欧氏空间三者的扩张; 欧氏空间又是格与环面的扩张, 从而局部紧交换群都是离散群与紧群的若干步扩张, 故只需分别对离散群与紧群证明定理.

先看 离散情形. 此时可写短正合列 , 从而 集中在 .

再看 紧情形. 此时由 Pontryagin 对偶不难写出短正合列 , 从而 . 所以只需证 集中在 . 离散时这是定理 3.21. 紧时同样用环面消解 , 只需证 集中在 . 它是 ; 再用定理 3.2集中在 .

下一节我们会用到

命题 3.5. 是紧交换群, 则它在 中伪凝聚. 换言之, 它有由 中紧投射对象组成的消解. 这推出 中滤余极限交换.

证明. 由于对极不连通空间 , 紧投射, 这是附录中消解引理和定理 2.5 的证明中紧空间用极不连通空间单纯消解的直接推论. 对任意极不连通空间 , 把 的典范消解张量积 再对紧空间用极不连通空间单纯消解, 同样可以得到 伪凝聚. 于是用紧投射消解计算 即得它与滤余极限交换. 这对任意 成立, 所以 与滤余极限交换.