2.3. 模型范畴

虽然在上一节中我们已经说明了两件事:

•	有范畴等价 $\mathsf{hKan}\simeq \mathsf{hCW}$;
•	局部 Kan 的单纯范畴的同伦脉是拟范畴.

但是我们并没有一套理论来说明如果我们只关心同伦, 就可以将以上两件事情真正表述为:

•	拓扑空间的同伦信息与单纯集的同伦信息是一样的 (换句话说是同伦假设);
•	两种描述 $(\infty ,1)$-范畴的方式实际上是一样的.

为了说明这些事情, 我们需要使用模型范畴 (不过讲义中各种定义都会优先避免模型范畴, 我主要想告诉你该如何去看待模型范畴并将其转化为拟范畴关于弱等价的局部化).

2.3.1模型范畴

当然, 我觉得这部分也可以看讲义: 同伦代数与同调代数/模型范畴.

想法

模型范畴是用来研究关于弱等价进行局部化的理论.

定义 2.3.1.1. 带有弱等价的范畴是指二元组 $(\mathcal{C},W)$, 其中:

•	$\mathcal{C}$ 是范畴;
•	$W$ 为其内一族态射, 满足以下性质: ∘ $\mathcal{C}$ 中所有同构均在 $W$ 内; ∘ $W$ 满足 3 选 2 性质, 即对于 $\mathcal{C}$ 中任意图表$$\bullet \bullet \bullet$$若其内任意两个态射在 $W$ 内, 则第三个态射也在 $W$ 内.

注 2.3.1.2. 在一些教材中, 会要求 $W$ 满足 6 选 2 性质, 即给定 $\mathcal{C}$ 中的态射链$$x\stackrel{f}{\to }y\stackrel{g}{\to }z\stackrel{h}{\to }w$$以及它们之间所有可能的复合, 如果 $g\circ f$ 和 $h\circ g$ 在 $W$ 中, 则 $f,g,h,h\circ g\circ f$ 均在 $W$ 中. 不难发现由此可以推出 3 选 2 性质, 只需选取一些态射为 $\mathrm{id}$.

我们期望将弱等价的东西变为同构, 换句话说, 我们希望构造 $\mathcal{C}$ 关于 $W$ 的局部化.

当然, 应该先给出一些带有弱等价的范畴的例子

例 2.3.1.3.

•	令 $\mathcal{C}=\mathsf{Top}$, 则同伦等价 $\mathsf{HoEq}$ 以及弱同伦等价 $\mathsf{WHoEq}$ 均构成弱等价;
•	令 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴, $\mathcal{C}={\mathsf{Ch}}_{\ast }(\mathcal{A})$ 为链复形范畴, 则链同伦等价 $\mathsf{CHoEq}$ 与拟同构 $\mathsf{qis}$ 均构成弱等价.

在例 2.3.1.3 中, 关于同伦等价以及链同伦等价的局部化是简单的, 我们所得到的不过是拓扑空间同伦范畴 $\mathsf{hTop}$ 与链复形同伦范畴 $K(\mathcal{A})$. 但是关于弱同伦等价以及拟同构的局部化却并不简单.

不过幸运的是, 在 $\mathsf{Top}$ (或 ${\mathsf{Ch}}_{\ast }(\mathcal{A})$) 中有一些比较好的对象 (比如在拓扑空间中是 CW 复形), 在它们之间弱同伦等价 (或拟同构) 即为同伦等价 (或链同伦等价), 并且对于任意的对象 $X\in \mathsf{Top}$ (或 $C_{\ast }\in {\mathsf{Ch}}_{\ast }(\mathcal{A})$), 它可以弱同伦等价 (或拟同构) 于这些比较好的对象 (具体操作是在拓扑空间中取 CW 逼近, 在链复形范畴中取同伦内射消解, 不过此时要求 $\mathcal{A}$ 是 Grothendieck Abel 范畴). 将这些对象所构成的全子范畴记作 ${\mathcal{C}}^{\circ }$.

这个时候, 我们就可以将 $\mathcal{C}$ 关于 $W$ 的局部化转为其限制到 ${\mathcal{C}}^{\circ }$ 上再对于 $W$(也限制到 ${\mathcal{C}}^{\circ }$ 上) 进行局部化, 那这就只是关于同伦等价的局部化, 可以刻画为在态射集上商去同伦关系.

模型范畴的想法就是: 我们引入一些额外的信息, 使得对于 $(\mathcal{C},W)$, 都可以形式化的得到这些比较好的对象, 从而简单地刻画出局部化 $\mathcal{C}[W^{-1}]$.

这套理论肇始于 Daniel Quillen, 根据 [Quillen, 1967] ¹, 模型范畴是: “a category of models for a homotopy theory” 的缩写. 研究弱等价范畴的同伦论也被称为抽象同伦论.

模型范畴的定义

模型范畴引入的额外信息是两种态射:

•	纤维化: 模拟好的满射;
•	余纤维化: 模拟好的单射;

它们通过提升性质来定义:

定义 2.3.1.4. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, $J\subset \mathrm{Mor}(\mathcal{C})$ 为一族态射.

•	称 $\mathcal{C}$ 中态射 $p:X\to Y$ 对于 $J$ 具有右提升性质是指, 对于 $\mathcal{C}$ 中的实线图表$$AXBY,J\ni p$$则存在虚线箭头使得图表交换. 全体具有该性质的态射 $p$ 构成的类记为 $\mathsf{RLP}(J)$.
•	称 $\mathcal{C}$ 中态射 $i:A\to B$ 对于 $J$ 具有左提升性质是指, 对于 $\mathcal{C}$ 中的实线图表$$AXBY,i\in J$$则存在虚线箭头使得图表交换. 全体具有该性质的态射 $j$ 构成的类记为 $\mathsf{LLP}(J)$.

请读者证明: $\mathsf{RLP}(\mathsf{LLP}(\mathsf{RLP}(J)))=\mathsf{RLP}(J)$.

定义 2.3.1.5. 弱分解系统是指三元组 $(\mathcal{C},\mathsf{L},\mathsf{R})$, 其中 $\mathcal{C}$ 是范畴, $\mathsf{L},\mathsf{R}\subset \mathrm{Mor}(\mathcal{C})$ 为两类态射, 使得:

•	$\mathsf{L}=\mathsf{LLP}(\mathsf{R})$ 且 $\mathsf{R}=\mathsf{RLP}(\mathsf{L})$;
•	$\mathcal{C}$ 中每个态射 $f:A\to B$ 均可分解为$$A\stackrel{l\in \mathsf{L}}{\to }X\stackrel{r\in \mathsf{R}}{\to }B,$$要求这样的分解是具有函子性的.

注 2.3.1.6. 在一些教材中 (如 [Hovey, 1999]) 就没有论及函子性的需求, 不过具有函子性终归是好事.

不难发现, 给定弱分解系统 $(\mathcal{C},\mathsf{L},\mathsf{R})$, 有以下性质:

•	$\mathsf{L}$ 和 $\mathsf{R}$ 包含 $\mathcal{C}$ 中所有同构;
•	$\mathsf{L}$ 和 $\mathsf{R}$ 关于态射复合封闭;
•	$\mathsf{L}$ 关于拉回封闭, $\mathsf{R}$ 关于推出封闭;

以下介绍模型范畴定义:

定义 2.3.1.7. 模型范畴是指四元组 $(\mathcal{C},\mathsf{W},\mathsf{Cof},\mathsf{Fib})$, 其中 $\mathcal{C}$ 是范畴, $\mathsf{W},\mathsf{Cof},\mathsf{Fib}\subset \mathrm{Mor}(\mathcal{C})$ 满足以下条件:

•	$\mathcal{C}$ 完备且余完备;
•	$(\mathcal{C},\mathsf{W})$ 是带有弱等价的范畴;
•	$(\mathcal{C},\mathsf{Cof}\cap \mathsf{W},\mathsf{Fib})$ 以及 $(\mathcal{C},\mathsf{Cof},\mathsf{Fib}\cap \mathsf{W})$ 构成弱分解系统; 在不引起歧义时, 一般将模型范畴简写为 $\mathcal{C}$.

•	将 $\mathsf{Cof}$ 中的态射称为余纤维化;
•	将 $\mathsf{Fib}$ 中的态射称为纤维化;
•	将 $\mathsf{Cof}\cap \mathsf{W}$ 的态射称为平凡余纤维化;
•	将 $\mathsf{Fib}\cap \mathsf{W}$ 的态射称为平凡纤维化.

正如 Cisinski 所言: In a model category, the meaningful part is the class of weak equivalences. Fibrations and cofibrations really are intermediate tools (in particular, we should always feel free to replace these at will, as far as this makes sense, of course).

模型范畴的核心就是弱等价, 纤维化与余纤维化应该被视为工具而看待 ², 它们的作用就在于描述同伦以及我们所需要的好对象.

首先我们来描述什么是好对象. 一般来说, 将余纤维化视为好的单射, 而纤维化视为好的满射. 那么对于一个对象 $X$, 我们比较关心的是始对象到其的典范态射 $\varnothing \to X$ 是否是余纤维化, 以及其到终对象的典范态射 $X\to \ast$ 是否是纤维化.

定义 2.3.1.8. 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴,

•	称对象 $X\in \mathcal{C}$ 是余纤维性对象是指典范态射 $\varnothing \to X$ 是余纤维化. 记全体余纤维性对象所构成的全子范畴为 ${\mathcal{C}}^c$;
•	称对象 $X\in \mathcal{C}$ 是纤维性对象是指典范态射 $X\to \ast$ 是纤维化. 记全体纤维性对象所构成的全子范畴为 ${\mathcal{C}}^f$;
•	称对象 $X\in \mathcal{C}$ 是双纤维性对象是指 $X$ 既是纤维性对象又是余纤维性对象. 记全体双纤维性对象所构成的范畴为 ${\mathcal{C}}^{\circ }$.

我们将看到, 双纤维性对象就是我们要找的好的对象. 但是模型范畴中, 不可能每个对象都是双纤维性对象, 这个时候我们希望每个对象都可以被双纤维性对象所逼近, 这就是弱分解系统的意义所在.

定义 2.3.1.9. 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, $X\in \mathcal{C}$ 为对象.

•	$X$ 的纤维性替换是指对象 $X^f\in \mathcal{C}$, 使得典范态射 $X\to \ast$ 可分解为$$X\stackrel{\in \mathsf{Cof}\cap \mathsf{W}}{\to }{X}^f\stackrel{\in \mathsf{Fib}}{\to }\ast ;$$
•	$X$ 的余纤维性替换是指对象 $X^c\in \mathcal{C}$, 使得典范态射 $\varnothing \to X$ 可分解为$$\varnothing \stackrel{\in \mathsf{Cof}}{\to }{X}^c\stackrel{\in \mathsf{Fib}\cap \mathsf{W}}{\to }X.$$

可以发现,

•	根据我们对于弱分解系统的要求, $(-{)}^c$ 与 $(-{)}^f$ 是具有函子性的.
•	并且不难说明 $((-{)}^c{)}^f\simeq ((-{)}^f{)}^c$, 将此记为 $(-{)}^{\circ }$.

以下引理在构建导出函子时较为有用:

引理 2.3.1.10 (Ken Brown). 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, $\mathcal{D}$ 为带弱等价的范畴. 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为将余纤维性对象间的平凡余纤维化映为弱等价, 则 $F$ 保持余纤维性对象之间的弱等价. 对偶地得到纤维性对象版本.

证明. 令 $f:A\to B$ 为余纤维性对象间的弱等价, 利用弱分解系统将 $(f,{\mathrm{id}}_B):A\bigsqcup B\to B$ 分解为$$A\bigsqcup B\stackrel{q\in \mathsf{Cof}}{\to }C\stackrel{p\in \mathsf{Fib}\cap \mathsf{W}}{\to }B.$$由于 $A$ 与 $B$ 均为余纤维性对象, $\varnothing \to A$ 与 $\varnothing \to B$ 为余纤维化, 从而推出 $i_A:A\to A\bigsqcup B$ 以及 $i_B:B\to A\bigsqcup B$ 也为余纤维化. 这相当于说 $C$ 也是余纤维性对象. 而后由于 $A\to A\bigsqcup B\to C\to B$ 的复合是 $f$, $B\to A\bigsqcup B\to C\to B$ 的复合是 ${\mathrm{id}}_B$, 两者均为弱等价, 且 $C\to B$ 也为弱等价, 从而可知 $q\circ i_A$ 与 $q\circ i_B$ 为平凡余纤维化. 而根据假设 $F(q\circ i_A)$ 与 $F(q\circ i_B)$ 均为弱等价, 由于 $F(p\circ q\circ i_B)=F({\mathrm{id}}_B)$ 为弱等价, 从而可知 $F(p)$ 也为弱等价, 从而 $F(f)=F(p\circ q\circ i_A)$ 也为弱等价.

$\square$

同伦

以下在模型范畴中恢复出同伦的概念. 为此首先回忆我们所熟知的两种同伦: 令 $X$ 为拓扑空间, $f,g:X\to Y$ 为连续映射,

•	称 $f$ 左同伦于 $g$ 是指存在态射 $H:X\times I\to Y$, 使得 $H(x,0)=f(x)$ 且 $H(x,1)=g(x)$, 这些信息可以使用交换图表转述为:$$XX\times IY.XfHg$$
•	称 $f$ 右同伦于 $g$ 是指存在态射 $h:X\to Y^I$, 使得 $h(x)(0)=f(x)$ 且 $h(x)(1)=g(x)$, 这些信息可以使用交换图标表述为:$$YX{Y}^I.Yfgh$$

当 $X$ 和 $Y$ 均为紧生成空间时, 指数律确保左同伦与右同伦是一致的.

接下来在模型范畴中恢复出上述概念, 我们希望所得到的同伦满足以下条件:

•	至少在 ${\mathcal{C}}^{\circ }$ 的 Hom 集上, 它是等价关系;
•	至少在 ${\mathcal{C}}^{\circ }$ 上, 它关于态射复合封闭;
•	至少在 ${\mathcal{C}}^{\circ }$ 上, 左同伦与右同伦是一致的.

以下介绍模型范畴上的 $X\times I$ 与 $Y^I$.

定义 2.3.1.11. 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, $X\in \mathcal{C}$ 为对象.

•	$X$ 的柱对象 $\mathrm{Cyl}(X)$ 是指余对角态射 $\nabla :X\bigsqcup X\to X$ 的一个分解$$X\bigsqcup XX.\mathrm{Cyl}(X)\mathsf{Cof}\ni i\nabla p\in \mathsf{W}$$若 $p$ 还是平凡纤维化, 则称其为好柱对象;
•	$X$ 的道路对象 $\mathrm{Path}(X)$ 是指对角态射 $\delta :X\to X\times X$ 的一个分解$$XX\times X.\mathrm{Path}(X)\delta \mathsf{W}\ni ip\in \mathsf{Fib}$$若 $i$ 还是平凡余纤维化, 则称其为好道路对象;

注 2.3.1.12. 有些理论中 (就像我们拓扑空间中的同伦论中) 喜欢指定一个区间对象 $I$, 使得 $X\times I$ 为柱对象, 但是 $X\times I$ 未必穷尽全体柱对象, 从而会导致左同伦与同伦之间的细微差异.

现在可以恢复出左右同伦了

定义 2.3.1.13. 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, $X,Y\in \mathcal{C}$ 为对象, $f,g:X\to Y$ 为两个态射.

•	从 $f$ 到 $g$ 的左同伦是指使得图表交换的态射 $H:\mathrm{Cyl}(X)\to Y$ $$XCyl(X)Y;XfHg$$
•	从 $f$ 到 $g$ 的右同伦是指使得图表交换的态射 $h:X\to \mathrm{Path}(Y)$ $$YX\mathrm{Path}(Y);Yfgh$$
•	称 $f$ 同伦于 $g$ 是指其到 $g$ 既有左同伦又有右同伦. 记为 $f\sim g$;
•	称 $f$ 是同伦等价是指存在态射 $g:Y\to X$ 使得 $fg\sim {\mathrm{id}}_Y$ 且 $gf\sim {\mathrm{id}}_X$.

我们虽然不会具体的研究它的性质, 但是会提供对应的参考文献.

命题 2.3.1.14. 令 $\mathcal{C}$ 为模型范畴, 且 $f,g:X\to Y$ 为两个态射.

1.	若 $Y$ 是纤维性对象, $f$ 左同伦于 $g$, 则给定 $h:Y\to Z$ 以及 $k:A\to X$, 有 $h\circ f\circ k$ 左同伦于 $h\circ g\circ k$; 对偶给出 $X$ 是余纤维性对象的情况;
2.	若 $X$ 为余纤维性对象, 则左同伦在 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(X,Y)$ 上是等价关系, 并且此时左同伦可以推出右同伦; 对偶地, 若 $Y$ 为纤维性对象, 则右同伦是等价关系, 并且此时右同伦可以推出左同伦.

证明. [Hovey, 1999, Proposition 1.2.5]

$\square$

因此在 ${\mathcal{C}}^{\circ }$ 上,

•	左同伦和右同伦是等价的, 并且是 ${\mathcal{C}}^{\circ }$ 上的等价关系;
•	同伦关于复合封闭.

因此可以考虑 ${\mathcal{C}}^{\circ }/\sim$. 我们下一步的目标就是说明 ${\mathcal{C}}^{\circ }$ 上, 弱同伦等价即为同伦等价.

命题 2.3.1.15 (模型范畴 Whitehead 定理). 在 ${\mathcal{C}}^{\circ }$ 上, 态射为弱同伦等价当且仅当其为同伦等价.

证明. 我们直接搬运讲义: 同伦代数与同调代数中的证明, 因为我实在懒得证.

1. 如果 $f\in \mathsf{Fib}\cap \mathsf{W}$, 则 $f$ 有右逆, 因为可以在图表中进行提升. 我们想证明 $g$ 是 $f$ 的同伦逆, 也就是证明 $g\circ f$ 同伦于 $1_X$. 只需在图表中提升即可.

2. 如果 $f\in \mathsf{Cof}\cap \mathsf{W}$, 则上述论证的对偶版本就能证明命题.

3. 对一般的 $f\in \mathsf{W}$, 可以将它分解为余纤维化复合上平凡纤维化. 而由三选二性质, 其中的余纤维化自动是平凡余纤维化.

$\square$

2.3.2常见的模型结构

以下来介绍常见的模型结构

单纯集上的模型结构

在单纯集范畴 $\mathsf{sSet}$ 上具有两种模型结构, 分别称为 Quillen 模型结构与 Joyal 模型结构, 它们以

单纯范畴上的模型结构

2.3.3Quillen 等价

导出函子的刻画

模型范畴间的等价

脚注

1.	^ 引用链接是重排版, 具有较多 Typo, 比如在 Model Category 的定义中, M4 与 M5 写成了一个东西, 导致出现了一个 M6, 实际上 M5 就是 M6. 另外阅读此文献的读者应当知晓 base extension 其实就是 base change
2.	^ 这套工具可以脱离于弱等价而存在, 比如正合范畴和 Waldhausen 范畴, 总的来说, 这是一套非常有用的工具