绝对连续测度

在测度论中, 绝对连续刻画了两种测度之间的关系. 如果一个有限测度关于另一个测度绝对连续, 则当后者变化充分小时, 前者变化也充分小 (定理 1.2).

1定义与等价刻画

定义 1.1. $(X,\mathcal{M})$ 是可测空间, $\mu ,\nu$ 是其上两个测度. 如果对任意 $E\in \mathcal{M}$, $\mu (E)=0$ 蕴含 $\nu (E)=0$, 则称测度 $\nu$ 关于测度 $\mu$ 绝对连续.

当 $\nu (X)$ 有限时, 绝对连续有如下等价的 $\epsilon -\delta$ 刻画.

定理 1.2. $(X,\mathcal{M})$ 是可测空间, $\mu ,\nu$ 是其上两个测度. $\nu (X)$ 有限. 则 $\nu$ 关于 $\mu$ 绝对连续 $⟺$ 对任意 $\epsilon >0$, 存在 $\delta >0$, 使得 $\mu (E)<\delta$ 蕴含 $\nu (E)<\epsilon$.

证明. $(⟸)$ 明显. 我们用反证法证明 $(⟹)$. 反设存在 $\epsilon >0$, 对任意 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, 存在可测集 $E_n$ 使得 $\mu (E_n)<\frac{1}{2^n}$ 且 $\nu (E_n)>\epsilon$. 令 $F_k={\cup }_{n\ge k}{E}_n$, $F={\cap }_{n=1}^{+\infty }{F}_k$. 我们断言 $\mu (F)=0$ 且 $\nu (F)>0$. 其实,$$\mu (F)\le \mu (F_k)\le {\sum }_{n\ge k}\mu (E_n)=\frac{1}{2^{k-1}},$$故 $\mu (F)=0$. 而 $\nu (F_k)\ge \nu (E_k)\ge \epsilon$ 对任意 $k$ 成立, 由假设 $\nu (F_1)$ 有限, $(F_k)$ 是一列递减的集合, 所以由测度从上方逼近的连续性, $\nu (F)={\lim }_{k\to +\infty }\nu (F_k)\ge \epsilon$. 这与 $\nu$ 关于 $\mu$ 绝对连续矛盾.

$\square$

注 1.3. 定理 1.2 的 $⟹$ 一端在 $\nu$ 是无限测度时不一定成立. 反例如 $X=\mathbb{R}$, $\mathcal{M}$ 取所有 Borel 集, $\mu$ 取 Lebesgue 测度, $\nu =|x|d\mu$ (即 $\nu (E)={\int }_E|x|d\mu$).

2性质

定理 2.1 (Radon-Nikodym 定理). $\mu ,\nu$ 是集合 $X$ 的 $\sigma$-代数 $\mathcal{M}$ 上两个 $\sigma$-有限的测度, 且 $\nu$ 关于 $\mu$ 绝对连续. 则存在非负可测的 $f:X\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}$ 使得 $\nu (E)={\int }_{E}fd\mu$, 且这样的 $f$ 在 $\mu$-几乎处处意义下唯一, 即如果 $g$ 是另一个满足上述条件的函数, 则 $f=g$ $\mu$-几乎处处成立.

证明见页面 Radon–Nikodym–Lebesgue 定理.

定理 2.2 (Lebesgue 分解定理). $\mu ,\nu$ 分别是 $(X,\mathcal{M})$ 上两个 $\sigma$-有限的测度, 则存在测度 ${\nu }_0,{\nu }_1$ 使得 $\nu ={\nu }_0+{\nu }_1$, ${\nu }_0$ 关于 $\mu$ 奇异, ${\nu }_1$ 关于 $\mu$ 绝对连续.

证明见页面 Radon–Nikodym–Lebesgue 定理.

3相关概念

术语翻译

绝对连续 • 英文 absolutely continuous