Cayley–Bacharach 定理

约定. 在本文中,

• 固定域 $k$, 所有的几何对象都在 $k$ 上.

Cayley–Bacharach 定理是个代数几何定理, 说的是如两条三次曲线交于九个点, 第三条三次曲线过其中八个, 则它必过第九个. 它是射影几何中 Pascal 定理的推广.

1陈述与证明

定理 1.1. 设 $X,Y\subset {\mathbb{P}}^2$ 是两条三次曲线, 交于互异九点 $p_0,p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6,p_7,p_8$. 如三次曲线 $Z\subset {\mathbb{P}}^2$ 过点 $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6,p_7,p_8$, 则它也过 $p_0$.

证明. 注意把 $X$ 换成它与 $Y$ 的非平凡线性组合不改变事情, 故由 Bertini 定理可设 $X$ 为光滑. 设 $Z$ 与 $X$ 的第九个交点为 $q_0$, 要证 $p_0=q_0$. 为此考察线丛 ${\mathcal{O}}_X(3)=\mathcal{O}(3){|}_X$. 由 $Y$ 和 $Z$ 都是三次曲线, 对应于 $\mathcal{O}(3)$ 的截面, 知 $X\cap Y$ 和 $X\cap Z$ 都是对应于 ${\mathcal{O}}_X(3)$ 的有效 Cartier 除子. 相减知 ${\mathcal{O}}_X(p_0-q_0)={\mathcal{O}}_X$. 如 $p_0\ne q_0$, 该除子便给出次数为 $1$ 的映射 $X\to {\mathbb{P}}^1$, 于是 $X\cong {\mathbb{P}}^1$, 与 $X\subset {\mathbb{P}}^2$ 是光滑三次曲线矛盾! 所以 $p_0=q_0$.

$\square$

注 1.2. 在 Pascal 定理的情形取 $X,Y$ 为两组三条直线之并, $Z$ 为二次曲线并上中间三个交点中两个的连线, 即知 Cayley–Bacharach 定理推广 Pascal 定理.

2推广

以下命题是 “完全交环 Gorenstein” 的分次版本.

命题 2.1. 设 $R=k[x_0,\dots ,x_n]/(f_0,\dots ,f_c)$ 为完全交的 $n-c$ 维分次环, 其中 $f_0,\dots ,f_c$ 为齐次多项式, 次数分别为 $d_0,\dots ,d_c$. 记 $s={\sum }_{i=0}^c{d}_i-n-1$, 以 $R_{+}$ 记正次数元组成的理想, 即 $(x_0,\dots ,x_n)$. 则复形 $R{\Gamma }_{R_{+}}(R)$ 的上同调集中在 $n-c$ 处, 且$${\underline{\mathrm{Hom}}}_k(H_{R_{+}}^{n-c}(R),k)\cong R(s),$$其中等号左边表示分次复形 ${⨁}_{r\in \mathbb{N}}{\mathrm{Hom}}_k(H_{R_{+}}^{n-c}(R{)}_{-r},k)$, 右边表示分次模 $R$ 平移 $s$ 次然后放到同调 $n-c$ 处.

下面是定理 1.1 的推广.

定理 2.2. 设 $\Gamma \subseteq {\mathbb{P}}^n$ 是零维闭子概形, $I\subseteq k[x_0,\dots ,x_n]$ 是在 $\Gamma$ 为零的多项式生成的理想, $R=k[x_0,\dots ,x_n]/I$ 是一维分次环. 设 $R$ 是 Gorenstein 环, $s$ 是整数, 且有同构$$\underline{\mathrm{Hom}}(H_{R_{+}}^1(R),k)=R(s),$$则 $\Gamma$ 是 Gorenstein 概形. 设 ${\Gamma }^{\prime },{\Gamma }^{\prime \prime }\subseteq \Gamma$ 是对偶的闭子概形, 即 ${\mathcal{I}}_{{\Gamma }^{\prime \prime }}={\mathrm{Ann}}_{{\mathcal{O}}_Y}({\mathcal{I}}_{{\Gamma }^{\prime }})$. 则对自然数 $r\le s$, 下面两个线性空间自然对偶:

•	零点包含 ${\Gamma }^{\prime }$ 的 $r$ 次多项式空间商去零点包含 $\Gamma$ 者;
•	${\Gamma }^{\prime \prime }$ 的函数环商去其上 $s-r$ 次多项式函数.

注 2.3. 特别地, 上述定理对 $\Gamma$ 是 $n$ 个超曲面的完全交成立.

推论 2.4. 设 $X_1,X_2\subset {\mathbb{P}}^2$ 分别是 $d_1,d_2$ 次曲线, 交于互异的 $d_1{d}_2$ 个点. 设 $Z$ 为一部分交点, $Z^{\prime }$ 为其余. 记 $s=d_1+d_2-3$, 设自然数 $r\le s$ 满足 $Z^{\prime }$ 上的 $s-r$ 次多项式函数构成的线性空间维数是 $|Z^{\prime }|$, 例如 $|Z^{\prime }|=1$ 且 $s-r=0$, 或者 $Z^{\prime }$ 中的点处于一般位置且 $|Z^{\prime }|\le \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{s-r+2}{2}\right)$. 则一条 $r$ 次曲线如包含 $Z$, 它也就包含 $Z^{\prime }$.

3相关概念

•	椭圆曲线
•	局部对偶
•	Gorenstein 环

术语翻译

Cayley–Bacharach 定理 • 英文 Cayley–Bacharach theorem