顶点代数

顶点代数 (或顶点算子代数) 是一种代数结构. 这种结构来自于物理学中的二维共形场论, 但在一些数学领域, 包括月光理论与几何 Langlands 纲领中, 也具有重要的应用.

大致来说, 顶点代数是向量空间 $V$, 并且对元素 $a_1,\dots ,a_n\in V$, 可以做乘法$$a_1(z_1)\cdots a_n(z_n),$$这可以视为 $V$ 上的一族乘法运算, 这族运算亚纯地依赖于变量 $z_1,\dots ,z_n\in \mathbb{C}$, 并且在 $z_i=z_j$ $(i\ne j)$ 时可能出现奇性, 也就是乘法的结果可能趋于无穷. 并且, 这族运算满足单位律、结合律、交换律, 其单位元常常按照物理学的术语而称为真空态. 另外, 这族乘法与平移相容, 也就是若将每个 $z_i$ 同时平移 $y\in \mathbb{C}$, 则乘法的结果也由原来的结果中将每个 $z_i$ 平移 $y$ 得到.

在上述记号下, 空间 $V$ 刻画二维共形场论中的态空间, 其中每个元素 $a\in V$ 通过态场对应而对应于场 $a(z)$, 这也是场论中的可观测量. 关于 $n$ 个场的 $n$ 点函数在其中两点相撞时具有奇性, 这种奇性能完全通过另一些形如 $a(z)$ 的场来描述, 这一现象称为算子乘积展开, 而顶点代数描述的正是这一结构.

1定义

在顶点代数通常的定义中, 引言中的直观想法常常被隐藏起来, 并翻译成以下信息:

•	乘积 $a(z)\cdot b(0)$ 记作 $Y(a,z)b$.

•	平移运算由线性算子 $T:V\to V$ 给出, 它的作用是刻画求导数的操作 $d/dz$, 也就是说, 它应满足$$(Ta)(z)=\frac{d}{dz}a(z).$$这样, 对任何 $a\in V$ 及变量 $y,z$, 我们期望有$$\exp (yT)a(z)=a(z+y),$$这可类比于对通常的多项式 $f\in \mathbb{C}[z]$ 成立的等式$$\exp \left(y\frac{d}{dz}\right)f(z)=f(z+y).$$

这样, 我们可以将顶点代数中的操作都用算子 $Y,T$ 表示出来. 例如, 乘积 $a_1(z_1)\cdot a_2(z_2)$ 就可以写成$$\exp (z_{2}T)(Y(a_1,z_1-z_2)a_2),$$这相当于先做乘积 $a_1(z_1-z_2)\cdot a_2(0)$, 再将括号内的变量平移 $z_2$.

下面叙述顶点代数的通常定义.

定义 1.1 (顶点代数). 顶点代数是四元组 $(V,Y,T,|0⟩)$, 其中

•	$V$ 是 $\mathbb{C}$-超向量空间, 称为态空间.

•	$|0⟩\in V$ 是偶元素, 称为真空态或单位元.

•	$Y$ 是偶线性映射$$\begin{array}{rl}Y:V& ⟶\mathrm{End}(V)[[z,z^{-1}]],\\ a& ⟼Y(a,z)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{a}_{(n)}{z}^{-n-1},\end{array}$$称为态场对应.

•	$T:V\to V$ 是偶线性算子, 称为平移算子.

它们满足以下公理:

•	对任意 $a,b\in V$, 有$$a_{(n)}b=0(n\gg 0).$$换言之, $$Y(a,z)b\in V((z)),$$其中 $V((z))=V[[z]][z^{-1}]$ 是取值于 $V$ 的形式 Laurent 级数的空间.

•	(真空) 有 $T|0⟩=0$, 且 $Y(|0⟩,z)=\mathrm{id}$. 另外对任意 $a\in V$, 有 $Y(a,z)|0⟩\in a+zV[[z]]$.

•	(平移) 对任意 $a\in V$, 有$$[T,Y(a,z)]=\frac{d}{dz}Y(a,z),$$其中左边表示交换子.

•	(定域性) 对任意 $a,b\in V$, 存在 $N\in \mathbb{N}$, 使得$$(z-w{)}^N[Y(a,z),Y(b,w)]=0.$$

当无歧义时, 也直接称 $V$ 为顶点代数.

很多顶点代数的例子都带有 Virasoro 代数的作用, 这样的作用也被写进下面的定义里.

定义 1.2 (共形顶点代数). 共形顶点代数是四元组 $(V,Y,L,|0⟩)$, 其中

•	$(V,Y,T=L_{-1},|0⟩)$ 是顶点代数, 其中 $L_{-1}$ 的含义见下文.

•	$V$ 作为向量空间, 带有一个 $\mathbb{Z}$-分次$$V=\underset{m\in \mathbb{Z}}{⨁}{V}_m,$$它与原来的 ${\mathbb{Z}}_2$-分次相容 (即构成 $(\mathbb{Z}\times {\mathbb{Z}}_2)$-分次), 满足 ∘ $|0⟩\in V_0$. ∘ 对任意 $a\in V_m$, 有 $\mathrm{deg}{a}_{(n)}=-n-1+m$.

•	$L\in V_2$ 是一个元素, 并且若记$$L(z)=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{L}_n{z}^{-n-2},$$即 $L_n=L_{(n+1)}$, 则 ∘ $L_{-1}$ 给出平移算子 $T$. ∘ 每个 $V_m$ 是 $L_0$ 的 $m$-特征子空间. ∘ 我们有 Virasoro 关系$$[L_n,L_m]=(n-m)L_{n+m}+c\cdot \frac{n^3-n}{12}\cdot {\delta }_{n,-m},$$其中 $c\in \mathbb{C}$ 称为中心荷.

2例子

(...)

3性质

结合律

(...)

算子乘积展开

(...)

4相关概念

•	顶点代数模
•	算子乘积展开
•	共形场论
•	共形块
•	分解代数

术语翻译

顶点代数 • 英文 vertex algebra • 法文 algèbre vertex (f)