Virasoro 代数

Virasoro 代数是一个 Lie 代数, 是二维共形场论和弦论中的基本构造.

Virasoro 代数是 Witt 代数唯一的非平凡中心扩张. 由于 Witt 代数是圆环半群的 Lie 代数的多项式版本, 而其中心扩张的表示可以看成是 Witt 代数的射影表示, 故 Virasoro 代数的表示可以看成圆环半群的无穷小射影表示, 而圆环半群的射影表示是二维共形场论的一个基本信息.

1定义

定义 1.1 (Virasoro 代数). 设 $c\in \mathbb{C}$. 中心荷为 $c$ 的 Virasoro 代数为复 Lie 代数 ${\mathrm{Vir}}_c$, 定义如下.

•	作为向量空间, 定义$${\mathrm{Vir}}_c=⟨L_n\mid n\in \mathbb{Z}{⟩}_{\mathbb{C}}\oplus ⟨1{⟩}_{\mathbb{C}},$$其中 $⟨\cdots {⟩}_{\mathbb{C}}$ 表示线性生成空间.

•	${\mathrm{Vir}}_c$ 的 Lie 括号定义为$$\begin{array}{rl}[L_m,L_n]& =(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}(m^3-m){\delta }_{m,-n}1,\\ [1,-]& =0,\end{array}$$其中 ${\delta }_{m,-n}$ 是 Kronecker $\delta$ 记号.

${\mathrm{Vir}}_c$ 是 Witt 代数 $W$ 的中心扩张:$$0\to \mathbb{C}\to {\mathrm{Vir}}_c\to W\to 0.$$在 Lie 括号的定义中, $(m-n)L_{m+n}$ 是 Witt 代数的 Lie 括号, 后面那一项是中心扩张的不平凡部分.

只要 $c\ne 0$, 得到的 ${\mathrm{Vir}}_c$ 都是互相同构的. 系数 $1/12$ 是物理中的习惯约定.

2性质

表示论

3相关概念

•	超 Virasoro 代数
•	$W$ 代数
•	顶点代数

术语翻译

Virasoro 代数 • 英文 Virasoro algebra • 德文 Virasoro-Algebra (f) • 法文 algèbre de Virasoro (f)