用户: HoshinoKoji/分析学/分析学基础

目录

	1 戴德金实数的构造
	2 实数的基本性质
	3 序列的极限
	4 实数上的拓扑
	5 函数极限与连续性
	6 导数
	7 函数列与函数项级数
	8 Riemann 积分

前言

这份讲义是自学数学分析的产物, 参考书目为 Understanding Analysis, 后略记为 [UA]. 经过一番摸索与周折, 笔者发现遵照一定的顺序, 并在学习过程中充分地自我锻炼似乎是学习纯数学的正道.

为了加深理解, 避免眼高手低, 于是按照原书思路书写讲义, 纳入所有的主要定理、命题并自行给出证明. 这里有几点值得说明的地方:

•	笔者水平有限, 数学直觉并不出众, 但又希望尽可能保持严格, 因而证明书写务求完整充分, 事无巨细, 直至笔者认为显然的程度. 这会导致文字篇幅较长, 在一些直觉上显然、严格书写较困难的部分尤甚.
•	讲义编写耗时较长, 笔者也不可能一一检查证明, 错误在所难免.
•	尽管笔者能力不足, 但作为学习的手段, 讲义编写也融入了一定的个人理解, 这体现于细节的剪裁和内容安排.
•	原书课后习题既有提供示例, 也有引入有趣但作者认为不便加入正文的结构和命题的功能. 为表重视, 笔者会尝试将有价值的部分融入讲义.

以上种种, 致使本文可能并非好的阅读材料, 充其量是笔者的心路历程. 不过于水平和眼界与笔者相近的人而言, 能起到交流心得的作用也未可知.

符号表

与数理逻辑相关的符号和元语言用法如下:

1.	$\forall x$, 表示对于任意 $x$.
2.	$\exists x$, 表示存在 $x$.
3.	$\exists !x$, 表示存在唯一的 $x$.
4.	文字表述的 A 当且仅当 B 或符号表述的 A$⟺$B 表示 A 能推出 B, 并且 B 能推出 A.
5.	$A:=B$ 是指定义 $A$ 为 $B$.

上述用法的 $x$ 可能附带特定条件, 以约束 $x$ 的范围, 如 $\forall x>0$. 随后还会附有关于 $x$ 的某种性质.

与一般集合有关的用法如下:

1.	$\varnothing$ 表示空集.
2.	$\{x\in A\mid P(x)\}$, 表示由集合 $A$ 中满足性质 $P$ 的元素所构成的集合. 在 ZFC 公理化体系下, $x$ 所来自的 $A$ 不可省略, 但为方便起见, 在不产生歧义的情况下也酌情省略.
3.	${\bigcup }_{\alpha \in I}{X}_{\alpha }$ 表示一族集合的并, 元素 $x$ 属于该集合当且仅当 $x$ 满足 $\exists \alpha \in I$, 使得 $x\in X_{\alpha }$. 通常读者应当对有限个集合的并较为熟悉, 但这一用法并不受集合 “个数” 的限制. 当 $I$ 取为自然数时, 也表示为 ${\bigcup }_{n=0}^{\infty }{X}_n$ 或类似形式.
4.	${\bigcap }_{\alpha \in I}{X}_{\alpha }$ 表示一族集合的交, 元素 $x$ 属于该集合当且仅当 $x$ 满足 $\forall \alpha \in I$, 都有 $x\in X_{\alpha }$. 其余细节与并集类似.
5.	集合 $A\setminus B$ 表示两者的差, 即 $\{x\mid x\in A,x\notin B\}$.
6.	$f:X\to Y$ 表示从 $X$ 到 $Y$ 的映射 $f$. 在描述映射规则时, 可以采用 $a\mapsto b$ 的形式, 意谓 $f(a)=b$.

与具体数集有关的用法如下:

1.	$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\cdots \}$ 表示自然数.
2.	$\mathbb{Z}=\{0,1,-1,2,-2,\cdots \}$ 表示整数数.
3.	$\mathbb{Q}$ 表示有理数.
4.	$\mathbb{R}$ 表示实数.
5.	$\mathbb{I}$ 表示无理数.

除此以外, 黑板体字母如 $\mathbb{A}$ 均表示某一数集. 注意其中 $\mathbb{N}$ 的界定与 [UA] 不一致, [UA] 认为 0 不属于自然数, 这有便于某些内容的叙述.

与数集衍生物有关的用法如下:

1.	$S^{\ast }$ 表示 $S\setminus \{0\}$.
2.	$S^{+}$ 表示 $\{x\mid x\in S,x>0\}$.
3.	$S^{-}$ 表示 $\{x\mid x\in S,x<0\}$.
4.	$S_{⩾0}$ 表示 $\{x\mid x\in S,x⩾0\}$.

其余记号不再一一列举, 或在正文中提供正式定义.

2023 年 2 月 23 日注

时隔多月后, 发现当初的定位过于消耗时间精力, 并不值当. 书写的材料应当主要服务于学习需要, 而不是为写而写, 所以现在只挑选有一定难度的习题书写解答. 视情况可能略去细节, 只提重要的直觉和关键步骤.