用户: HoshinoKoji/分析学/分析学基础/实数上的拓扑

1开集与闭集

定义 1.1 (开集, open set). 设集合 $O\subseteq \mathbb{R}$ 满足 $\forall x\in O$, $\exists V_{\epsilon }(x)\subseteq O$, 则称 $O$ 为开集.

定义 1.2 (极限点, limit point). 设集合 $X\subseteq \mathbb{R}$, 若 $a\in \mathbb{R}$ 满足 $\forall V_{\epsilon }(x)$, $\exists x\in X$ 使得 $x\ne a$ 且 $x\in V_{\epsilon }(x)$, 则称 $a$ 为 $X$ 的极限点.

定义 1.3 (闭集, closed set). 设集合 $F\subseteq \mathbb{R}$ 包含 $F$ 的所有极限点, 则称 $F$ 为闭集.

定理 1.4 (闭集的等价条件). 集合 $F\subseteq \mathbb{R}$ 是闭集当且仅当 $F$ 中的 Cauchy 列均收敛于 $F$.

证明. $(\Rightarrow )$. 考虑 $F$ 中的任意 Cauchy 列 $(a_n)\to a$, 由极限点定义可知 $a$ 是 $F$ 的极限点, 再由 $F$ 是闭集, 于是 $a\in F$.

$(\Leftarrow )$. 反设 $F$ 不是闭集, 即存在 $F$ 的极限点 $x$ 满足 $x\notin F$, 取 ${\epsilon }_n=1/n$, 由极限点定义可知存在相应的 $a_n\in F$ 且 $a_n\in O_{{\epsilon }_n}(x)$. 容易验证, $a_n$ 为 $F$ 中的 Cauchy 列但收敛于 $x\notin F$, 矛盾.

$\square$

定理 1.5 (开集与闭集). 集合 $O\subseteq \mathbb{R}$ 为开集当且仅当 $O^c$ 为闭集. 集合 $F\subseteq \mathbb{R}$ 为闭集当且仅当 $F^c$ 为开集.

证明. 只需证明第一条, 对于第二条取 $F=(F^c{)}^c$ 即可.

$(\Rightarrow )$. 反设 $O^c$ 不为闭集, 即存在 $O^c$ 的极限点 $x\notin O^c$, 这意味着 $x\in O$, 由开集定义可以取得 $x\in V_{\epsilon }(x)\subseteq O$, 并由极限点定义取得 $y\in V_{\epsilon }(x)\cap O^c$, 但 $V_{\epsilon }(x)\cap O^c$ 显然为空, 矛盾.

$(\Leftarrow )$. 反设 $O$ 不为开集, 即存在 $x\in O$ 使得 $x$ 的任意邻域 $V_{\epsilon }(x)$ 都交于 $O^c$. 取 ${\epsilon }_n=1/n$, 并由假设取得 $a_n\in V_{{\epsilon }_n}(x)\cap O^c$, 容易验证 $\lim a_n=x\notin O^c$, 与 $O^c$ 为闭集矛盾.

$\square$

定义 1.6 (闭包, closure). 记 $L$ 为 $X\subseteq \mathbb{R}$ 的所有极限点, 称 $\bar{X}=X\cup L$ 为 $X$ 的闭包.

定理 1.7 (闭包的性质). 设集合 $A\subseteq \mathbb{R}$, 则 $\bar{A}$ 是包含 $A$ 的最小闭集.

证明. 首先说明 $\bar{A}$ 是闭集. 记 $A$ 的极限点为 $L$, $\bar{A}$ 的极限点为 $L^{\prime }$, 反设 $\bar{A}$ 不是闭集, 即存在 $x\in L^{\prime }\setminus \bar{A}$, 这暗含了 $A,L\ne \varnothing$. 取 ${\epsilon }_n=1/n$, 由极限点定义构造 $(a_n)$ 使得 $a_n\in V_{{\epsilon }_n}(x)$, 其中 $\lim a_n=x$, 且 $a_n\in \bar{A}$.

由于 $x\notin L$, 那么存在 $\epsilon \in {\mathbb{R}}^{+}$ 使得 $V_{\epsilon }(x)\cap A=\varnothing$. 且 ${\epsilon }^{\prime }<\epsilon$ 时, $V_{{\epsilon }^{\prime }}(x)⊊V_{\epsilon }(x)$. 于是不难发现, 存在 $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 使得 $1/N<\epsilon$, 对于任意 $n⩾N$ 有 $a_n\in V_{\epsilon }(x)$. 而 $a_n\in \bar{A}$, 于是 $a_n\in L$. 取$$r=\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}=\frac{1}{N(N+1)},$$容易验证 $V_r(a_{N+1})\cap A=\varnothing$, 这与 $a_{N+1}\in L$ 矛盾, 于是得证.

另一方面, 所有包含 $A$ 的闭集都包含 $L$, 于是也都包含 $\bar{A}$, 这也就说明了$$\bar{A}=\bigcap \{F\mid A\subseteq F\text{且}F\text{为闭集}\},$$即 $\bar{A}$ 是包含 $A$ 的最小闭集.

$\square$