用户: HoshinoKoji/分析学/分析学基础/序列的极限

1序列的极限

定义 1.1 (序列). 称映射 为序列 . 若 为数域, 也称这样的映射为数列.

在术语使用上, 由于本文主要在实数范围内讨论, 故而除非特别声明, 我们总是用数列指代实数的序列. 此外, 在只关心点集而不关心次序时, 也记 .

定义 1.2 (数列极限). 设数列 满足 , 使得 时有 , 则称 收敛于 , 的极限, 记为 .

在不指明极限具体取值时, 我们也记 的极限为 . 定义极限后, 我们需要确定这样的极限是唯一的.

定理 1.3 (数列极限的唯一性). 若数列 收敛, 则极限唯一.

证明. 的极限, 反设 . 不妨假设 , 取 , 由极限定义可知 使得 时, 有 , 这意味着这进一步意味着 , 矛盾, 于是 .

某些数列可能不存在极限.

定义 1.4 (发散). 设数列 满足 , , , 使得 , 则称 发散.

发散的定义包含了多个量词, 看起来较为复杂. 但除去 后, 我们会发现这实际上相当于对极限定义进行如下操作:

将任意量词变为存在量词, 存在量词变为任意量词;

取最内层命题的否定.

这是基于一阶逻辑中关于量词和否定的定理: 否定号所到之处, 量词都发生了改变, 故而最终呈现为定义中的形式.

例 1.5 (震荡). , 则 发散.

证明. 待补充.

定义 1.6 (邻域)., , 称 的一个邻域, 其半径为 , 记为 .

定义 1.7 (数列极限的拓扑描述). 设数列 满足任给 的邻域 , 使得 , 有 , 则称 的极限.

对序列的定义稍加推广后, 可以得到性质更复杂的、带有双重索引的 “二维” 序列.

定义 1.8 (二重序列的极限). 设映射 , 记 , 称 为双重下标数列.

满足 , 使得 时, 有 , 则称 的极限, 记为 .

2极限的序与代数性质

考虑数列构成的点集 , 我们可以自然地沿用点集的上 (确) 界、下 (确) 界以及有界的定义, 因此无需赘述.

定理 2.1 (收敛数列的有界性). 若数列 收敛, 则 有界.

证明., 由极限定义取 , 使得 , 于是可以取前段的最大值和后段的界. 令 , 的界.

采用定理 2.1 的逆否形式, 我们可以直接断言无界的数列总是发散的.

定理 2.2 (数列极限的代数性质). 设数列 , , , 则

1.

,

2.

,

3.

,

4.

, 则 .

证明. 我们逐条说明.

1.

, 即证明 , 使得 时, , 分析成立条件: 其中 是为了规避 的情况.

我们已知 , 这意味着 , 使得 时, . 由于 , 那么令 即可保证 的存在性.

在第一次证明这类命题时, 我们有必要重新理清逻辑链条:

(a)

抛出了一个正实数 , 要求我们提供相应的 .

(b)

由于 是正实数, 我们转而依据极限定义向 索要一个 , 使得他保证 .

(c)

依据我们的分析, 提供的 也就同时保证了 时有 .

后续证明中, 在分析目标成立的充分条件, 转化为已知数列极限的形式后, 总是可以利用这种方法, 依据定义将 极限定义的 取成具有其他形式的正实数, 因此无妨略去冗长的说明.

2.

, 分析成立的条件: 可知将 定义的 均取为 , 而令 即可.

3.

, 分析成立的条件: 最后一步是由定理 2.1 可知 有界, 于是可以取 使得 恒成立. 随后取 , 即可.

4.

, 分析成立的条件: 为了进一步放缩, 我们考虑 的下界, 并断言存在 使得 恒成立.

如果 , 由 可知 使得 , 即 .

如果 , 由 可知 使得 , 即

综上, 令 , 存在 使得 , 再令 即可.

由是得证.

上述性质为具体极限的计算提供了巨大的便利, 我们从此无需使用最原始的极限定义来确认其存在. 而且, 基于某些极限的存在性, 通过代数运算得到新的极限, 可能更符合对极限的直观认识.

类似的性质也可以推广到其他运算上.

命题 2.3 (绝对值的极限). 若数列 , 则 .

证明. 分析成立的条件: 由于 , 令 即可.

命题 2.4 (平方根的极限). 若数列 , 则 .

证明. 如果 , 即可. 如果 , 由于 , 同理易得.

定理 2.5 (数列极限的保号性). 设数列 , 则 .

证明. 反设 , 由定义取 , 使得 , 即 , 与 矛盾, 得证.

值得注意的是, 即便将定理 2.5 的条件加强至 , 我们也无法得到 , 其反例易得, 取 即可.

对此稍作变形, 我们可以得到常用的推论.

推论 2.6. 设数列 , , 且 , 则 .

证明., 先后应用定理 2.52.2 即可.

3单调有界收敛定理

定义 3.1 (单调). 若数列 满足 , 有 , 则称 递减, 反之则称 递增. 称递减或递增的数列单调.

此前在讨论闭区间套时, 我们在表述上同样使用了单调一词. 在偏序集的意义下, 这与数列单调的含义实际上是相同的.

定理 3.2 (单调有界收敛定理, Monotone Convergence Theorem). 若数列 单调且有界, 则 收敛.

证明. 不妨假设 递增, 由 的有界性可知 的存在性. 我们断言, 它就是 的极限.

实际上, 也可以从有界但未必单调的数列出发构造收敛数列.

命题 3.3. 设数列 有界, 则 收敛.

证明. 待补充. 下确界的情形同理易得.

这为下述定义提供了合法性.

定义 3.4 (上极限与下极限). 定义分别称为 的上极限和下极限.

从定义出发, 显然有 . 如果令 , 我们会发现 , 这自然地引出了下文要给出的性质, 或者极限的等价定义.

命题 3.5. 当且仅当 .

证明. () 只证明 , 下极限同理. 由 , , 使得 时, , 即 的上界, 的下界. 由上确界的定义, . 根据定义的要求, 将上述 重新取为 即可保证 .

() 由 可知 , 使得 时, 由确界的定义, 这进一步意味着 为所求.

4非负项无穷级数

下文引入的级数概念在后续内容中起着十分重要的作用, 也可以作为定理 3.2 的应用, 提供一些简明的例子.

定义 4.1 (无穷级数). 给定数列 , 定义与之对应的部分和序列 , 称其极限 为 (无穷) 级数, 同时记为 .

, 则称该级数收敛于 , 记为 , 否则称该级数发散.

实际上, 去掉原数列 中的有限项不改变级数的收敛性. 因此尽管在定义中我们写成了 的形式, 但起点的选择并不重要, 在具体情景中为书写方便可能作任意的调整, 而无碍于严格性.

不难发现, 如果 的每一项都非负, 那么 对应的前 项和 是单调的, 于是可以应用单调有界收敛定理来证明级数的收敛性. 我们简称这样的级数为非负项级数.

例 4.2., 则 收敛.

证明., 显然 , 且 有界, 再由单调性和定理 3.2 可知级数收敛.

例 4.3 (调和级数, harmonic series)., 则 发散.

证明. 组合级数中的若干项并放缩, 取 , 这说明部分和数列 无界, 故级数发散.

定理 4.4 (Cauchy 凝聚判别法, condensation test). 设数列 递减且 , 则 收敛当且仅当级数收敛.

证明. 显然, 待补充.

, , 可以找到相应的 使得 , 此时有 , 由单调性和定理 3.2 可知级数收敛. 待补充.

5子列与子列的极限

在论证调和级数发散的过程中, 我们通过 “加括号” 的方式组合了若干项, 得到的新数列实际上是部分和数列的一部分. 对此稍加推广可以得到子列的定义.

定义 5.1 (子列). 为数列, 满足 , 记 , 称 的子列.

这相当于按顺序取出 可数无穷的一部分, 并组成新的数列.

定理 5.2 (子列极限). 收敛数列的子列收敛于同一极限.

证明. 设数列 , 为其子列, 由极限定义可知 , 使得 时有 .

根据子列的定义, 子列 对应的原下标 , 因此 蕴含 , 于是相应地有 , 得证.

例 5.3 (子列极限的应用)., , 则 .

证明., 可知 递减且 , 由单调有界收敛定理和保号性 收敛且 .

考虑 , 不难发现 出现于 的偶数项, 为其子列, 故 . 同时利用极限的代数性质, 有 , 而显然 , 因而 .

另一方面, 这也为数列发散的证明提供了另一种途径.

定理 5.4 (Bolzano—Weierstrass 定理). 有界数列存在收敛子列.

证明. 这里罗列两种证明方法.

6Cauchy 序列

定义 6.1 (Cauchy 序列). 设数列 满足 , , 使得 时, 有 , 则称 为 Cauchy 序列.

定理 6.2. 收敛数列是 Cauchy 序列.

证明. 设数列 , 由极限定义, , 使得 时有 . 任取 , 于是满足 Cauchy 序列定义.

引理 6.3. Cauchy 序列有界.

证明. 设数列 为 Cauchy 序列,

定理 6.4. Cauchy 序列收敛.

证明. 待补充.