序列的极限
称映射 f:N∗→X,n↦xn 为序列 (xn). 若 X 为数域, 也称这样的映射为数列.
在术语使用上, 由于本文主要在实数范围内讨论, 故而除非特别声明, 我们总是用数列指代实数的序列. 此外, 在只关心点集而不关心次序时, 也记 {xn}n∈N∗:={xn∣n∈N∗}.
设数列 (xn) 满足 ∀ε∈R+, ∃N∈N∗ 使得 n⩾N 时有 ∣xn−a∣<ε, 则称 (xn) 收敛于 a, a 是 (xn) 的极限, 记为 limn→∞xn=a 或 (xn)→a.
在不指明极限具体取值时, 我们也记 (xn) 的极限为 limxn. 定义极限后, 我们需要确定这样的极限是唯一的.
证明. 令
a,b∈R 为
(xn) 的极限, 反设
a=b. 不妨假设
a<b, 取
ε=(b−a)/4∈R+, 由极限定义可知
∃N1,N2∈N∗ 使得
n⩾max{N1,N2} 时, 有
∣xn−a∣<(b−a)/4 且
∣xn−b∣<(b−a)/4, 这意味着
b−a=∣(xn−a)−(xn−b)∣<∣xn−a∣+∣xn−b∣<4b−a+4b−a=2b−a这进一步意味着
1<1/2, 矛盾, 于是
a=b.
某些数列可能不存在极限.
设数列 (xn) 满足 ∀a∈R, ∃ε∈R+, ∀N∈N∗, ∃n⩾N 使得 ∣xn−a∣⩾ε, 则称 (xn) 发散.
发散的定义包含了多个量词, 看起来较为复杂. 但除去 ∀a∈R 后, 我们会发现这实际上相当于对极限定义进行如下操作:
• | 将任意量词变为存在量词, 存在量词变为任意量词; |
• | 取最内层命题的否定. |
这是基于一阶逻辑中关于量词和否定的定理: ⊢¬∀xφ↔∃x¬φ⊢¬∃xφ↔∀x¬φ否定号所到之处, 量词都发生了改变, 故而最终呈现为定义中的形式.
设 x∈R, ε∈R+, 称 (x−ε,x+ε) 是 x 的一个邻域, 其半径为 ε, 记为 Ox.
设数列 (xn) 满足任给 a 的邻域 Oa, ∃N∈N∗ 使得 ∀n∈N∗ 且 n⩾N, 有 xn∈Oa, 则称 a 是 (xn) 的极限.
对序列的定义稍加推广后, 可以得到性质更复杂的、带有双重索引的 “二维” 序列.
设映射 f:N∗×N∗→R, 记 f(m,n) 为 xmn, 称 (xmn) 为双重下标数列.
若 (xmn) 满足 ∀ε∈R+, ∃N∈N∗ 使得 m,n>N 时, 有 ∣xmn−a∣<ε, 则称 a 是 (xmn) 的极限, 记为 limm,n→∞xmn=a.
极限的序与代数性质
考虑数列构成的点集 {xn}, 我们可以自然地沿用点集的上 (确) 界、下 (确) 界以及有界的定义, 因此无需赘述.
若数列 (xn) 收敛, 则 (xn) 有界.
证明. 设
(xn)→a, 由极限定义取
ε=1,
∃N∈N 使得
n⩾N 时
∣xn−a∣<1, 于是可以取前段的最大值和后段的界. 令
x=max{xn∣n⩽N},
M=max{x,∣a−1∣,∣a+1∣} 是
{xn} 的界.
采用定理 2.1 的逆否形式, 我们可以直接断言无界的数列总是发散的.
设数列 (xn)→a, (yn)→b, k∈R, 则
1. | (kxn)→ka, |
2. | (xn+yn)→a+b, |
3. | (xnyn)→ab, |
4. | 若 ∀n∈N∗ 有 xn=0 且 a=0, 则 (1/xn)→1/a. |
证明. 我们逐条说明.
1. | (kxn)→ka, 即证明 ∀ε∈R+, ∃N∈N∗ 使得 n⩾N 时, ∣kxn−ka∣<ε, 分析成立条件: ∣kxn−ka∣<ε⟺⟸⟸∣k∣∣xn−a∣<ε(∣k∣+1)∣xn−a∣<ε∣xn−a∣<∣k∣+1ε其中 ∣k∣+1 是为了规避 k=0 的情况. 我们已知 (xn)→a, 这意味着 ∀ε′∈R+, ∃N∈N∗ 使得 n⩾N 时, ∣xn−a∣<ε′. 由于 ε∈R+, 那么令 ε′=ε/(∣k∣+1)∈R+ 即可保证 N 的存在性. 在第一次证明这类命题时, 我们有必要重新理清逻辑链条: (a) | (kxn) 抛出了一个正实数 ε, 要求我们提供相应的 N. | (b) | 由于 ε/(∣k∣+1) 是正实数, 我们转而依据极限定义向 (xn) 索要一个 N, 使得他保证 n⩾N 时 ∣xn−a∣<ε/(∣k∣+1). | (c) | 依据我们的分析, (xn) 提供的 N 也就同时保证了 n⩾N 时有 ∣kxn−ka∣<ε. |
后续证明中, 在分析目标成立的充分条件, 转化为已知数列极限的形式后, 总是可以利用这种方法, 依据定义将 (xn) 极限定义的 ε 取成具有其他形式的正实数, 因此无妨略去冗长的说明. |
2. | (xn+yn)→a+b, 分析成立的条件: ∣(xn+yn)−(a+b)∣<ε⟺⟸∣(xn−a)+(yn−b)∣<ε∣xn−a∣+∣yn−b∣<ε可知将 (xn)→a 与 (yn)→b 定义的 εx,εy 均取为 ε/2, 而令 N=max{Nx,Ny} 即可. |
3. | (xnyn)→ab, 分析成立的条件: ∣xnyn−ab∣<ε⟺⟸⟸∣(xnyn−bxn)+(ban−ab)∣<ε∣xn∣∣yn−b∣+∣b∣∣xn−a∣<εM∣yn−b∣+(∣b∣+1)∣xn−a∣<ε最后一步是由定理 2.1 可知 (xn) 有界, 于是可以取 M∈R+ 使得 M>∣xn∣ 恒成立. 随后取 εy=ε/2M, εx=ε/(2∣b∣+2) 即可. |
4. | (1/xn)→1/a, 分析成立的条件: ∣∣xn1−a1∣∣<ε⟺∣∣axnxn−a∣∣<ε⟺∣a∣∣xn∣∣xn−a∣<ε为了进一步放缩, 我们考虑 ∣xn∣ 的下界, 并断言存在 L∈R+ 使得 ∣xn∣>L>0 恒成立. ∘ | 如果 a>0, 由 (xn)→a 可知 ∃N1∈N∗ 使得 n⩾N1 时 ∣xn−a∣<a/4, 即 xn>3a/4>0. | ∘ | 如果 a<0, 由 (xn)→a 可知 ∃N2∈N∗ 使得 n⩾N2 时 ∣a−xn∣=∣xn−a∣<−a/4, 即0<−43Ia<−xn<−45a. |
综上, 令 L=3∣a∣/4, 存在 N′∈N+ 使得 n⩾N′ 时 ∣xn−a∣<∣a∣Lε, 再令 N=max{N′,N1,N2} 即可. |
上述性质为具体极限的计算提供了巨大的便利, 我们从此无需使用最原始的极限定义来确认其存在. 而且, 基于某些极限的存在性, 通过代数运算得到新的极限, 可能更符合对极限的直观认识.
类似的性质也可以推广到其他运算上.
若数列 (xn)→a, 则 (∣xn∣)→∣a∣.
证明. 分析成立的条件:
∣∣xn∣−∣a∣∣<ε⟺(0⩽∣xn∣−∣a∣<ε)∨(0<∣a∣−∣xn∣<ε)由于
∣xn∣−∣a∣⩽∣xn−a∣ 且
∣a∣−∣xn∣⩽∣xn−a∣, 令
ε′=ε 即可.
若数列 (xn)→a 且 ∀n∈N∗ 有 xn⩾0, 则 (xn)→a.
证明. 如果
a>0,
∣xn−a∣<ε⟺⟸xn+a∣xn−a∣<εa∣xn−a∣<ε取
ε′=εa 即可. 如果
a=0,
∣xn−a∣<ε⟺xn<ε⟺∣xn−a∣<ε2,由于
ε2∈R+, 同理易得.
设数列 (xn)→a 且 ∀n∈N∗ 有 xn⩾0, 则 a⩾0.
证明. 反设
a<0, 由定义取
ε=−a/2,
∃N∈N∗ 使得
n>N 时
∣xn−a∣<−a/2, 即
3a/2<xn<a/2<0, 与
xn⩾0 矛盾, 得证.
值得注意的是, 即便将定理 2.5 的条件加强至 xn>0, 我们也无法得到 a>0, 其反例易得, 取 xn=1/n 即可.
对此稍作变形, 我们可以得到常用的推论.
设数列 (xn)→a, (yn)→b, 且 ∀n∈N∗ 有 xn⩾yn, 则 a⩾b.
证明. 取
sn=xn−yn, 先后应用定理
2.5 和
2.2 即可.
单调有界收敛定理
若数列 (xn) 满足 ∀n∈N∗, 有 xn⩽xn+1, 则称 (xn) 递减, 反之则称 (xn) 递增. 称递减或递增的数列单调.
此前在讨论闭区间套时, 我们在表述上同样使用了
单调一词. 在偏序集的意义下, 这与数列单调的含义实际上是相同的.
若数列 (xn) 单调且有界, 则 (xn) 收敛.
证明. 不妨假设
(xn) 递增, 由
(xn) 的有界性可知
sup{xn} 的存在性. 我们断言, 它就是
(xn) 的极限.
实际上, 也可以从有界但未必单调的数列出发构造收敛数列.
设数列 (xn) 有界, 则 limn→∞sup{xk∣k⩾n} 和 limn→∞inf{xk∣k⩾n} 收敛.
这为下述定义提供了合法性.
定义limsupxnliminfxn:=n→∞limsup{xk∣k⩾n}:=n→∞liminf{xk∣k⩾n}分别称为 xn 的上极限和下极限.
从定义出发, 显然有 limsupxn⩾liminfxn. 如果令 (xn)=1,0,1,0,⋯, 我们会发现 limsupxn=1>0=liminfxn, 这自然地引出了下文要给出的性质, 或者极限的等价定义.
limsupxn=liminfxn=a 当且仅当 limxn=a.
证明. (⇐) 只证明 limsupxn=a, 下极限同理. 由 limxn=a, ∀ε∈R+, ∃N∈N∗ 使得 n⩾N 时, ∣xn−a∣<ε, 即a−ε<xn<a+ε,有 a+ε 是 {xk∣k⩾n} 的上界, a−ε 是 {xk∣k⩾n} 的下界. 由上确界的定义, a−ε⩽sup{xk∣k⩾n}⩽a+ε,则 ∣sup{xk∣k⩾n}−a∣⩽ε. 根据定义的要求, 将上述 ε 重新取为 ε/2 即可保证 ∣sup{xk∣k⩾n}−a∣⩽ε/2<ε.
(
⇒) 由
limsupxn=liminfxn=a 可知
∀ε∈R+,
∃N∈N∗ 使得
n⩾N 时,
∣sup{xk∣k⩾n}−a∣∣inf{xk∣k⩾n}−a∣<ε<ε由确界的定义, 这进一步意味着
xnxn⩽sup{xk∣k⩾n}<a+ε⩾inf{xk∣k⩾n}>a−ε即
∣xn−a∣<ε 为所求.
非负项无穷级数
下文引入的级数概念在后续内容中起着十分重要的作用, 也可以作为定理 3.2 的应用, 提供一些简明的例子.
给定数列 (xn), 定义与之对应的部分和序列 (sn) 为 sn=∑i=1nxi, 称其极限 limn→∞sn 为 (无穷) 级数, 同时记为 ∑i=1∞xi.
若 (sn)→s, 则称该级数收敛于 s, 记为 ∑i=1∞xi=s, 否则称该级数发散.
实际上, 去掉原数列 (xn) 中的有限项不改变级数的收敛性. 因此尽管在定义中我们写成了 ∑i=1nxi 的形式, 但起点的选择并不重要, 在具体情景中为书写方便可能作任意的调整, 而无碍于严格性.
不难发现, 如果 (xn) 的每一项都非负, 那么 (xn) 对应的前 n 项和 (sn) 是单调的, 于是可以应用单调有界收敛定理来证明级数的收敛性. 我们简称这样的级数为非负项级数.
设 xn=1/n2, 则 ∑i=1∞xi 收敛.
证明. 令
yn=1/2n−1, 显然
∀n∈N∗ 有
yn⩾xn, 且
n→∞limi=1∑nxi=n→∞lim(1−2−n)=1,故
∑i=1nxi 有界, 再由单调性和定理
3.2 可知级数收敛.
设 xn=1/n, 则 ∑i=1∞xi 发散.
证明. 组合级数中的若干项并放缩, 取
k∈N∗,
i=1∑2kxi=1+21+31+41+51+61+71+81+⋯=1+21+(31+41)+(51+61+71+81)+⋯<1+21+(41+41)+(81+81+81+81)+⋯=1+2k这说明部分和数列
∑i=1nxi 无界, 故级数发散.
设数列 (xn) 递减且 ∀n∈N∗ 有 xn⩾0, 则 ∑n=1∞xn 收敛当且仅当级数n=0∑∞2nx2n=x1+2x2+4x4+⋯收敛.
证明. (⇒) 显然, 待补充.
(⇐) 令
tn=∑i=0n−12ix2i,
sn=∑i=1nxn, 可以找到相应的
k 使得
n⩽2k+1−1, 此时有
sn⩽tn, 由单调性和定理
3.2 可知级数收敛. 待补充.
子列与子列的极限
在论证调和级数发散的过程中, 我们通过 “加括号” 的方式组合了若干项, 得到的新数列实际上是部分和数列的一部分. 对此稍加推广可以得到子列的定义.
设 (xn) 为数列, f:N∗→N∗ 满足 ∀n∈N∗ 有 f(n)<f(n+1), 记 f(n) 为 sn, 称 (xs1,xs2,…) 为 (xn) 的子列.
这相当于按顺序取出 (xn) 可数无穷的一部分, 并组成新的数列.
证明. 设数列 (xn)→a, (yn) 为其子列, 由极限定义可知 ∀ε∈R+, ∃N∈N∗ 使得 n⩾N 时有 ∣xn−a∣<ε.
根据子列的定义, 子列
(yn) 对应的原下标
sn⩾n, 因此
n⩾N 蕴含
sn⩾N, 于是相应地有
∣yn−a∣<ε, 得证.
设 b∈(0,1), xn=bn, 则 (xn)→0.
证明. 由 b∈(0,1), 可知 (xn) 递减且 ∀n∈N∗ 有 xn>0, 由单调有界收敛定理和保号性 (xn) 收敛且 limxn⩾0.
考虑
yn=xn2, 不难发现
(yn) 出现于
(xn) 的偶数项, 为其子列, 故
limyn=limxn. 同时利用极限的代数性质, 有
limxn=limyn=(limxn)2, 而显然
limxn=1, 因而
(xn)→0.
另一方面, 这也为数列发散的证明提供了另一种途径.
Cauchy 序列
设数列 (xn) 满足 ∀ε∈R+, ∃N∈N∗, 使得 m,n⩾N 时, 有 ∣xm−xn∣<ε, 则称 (xn) 为 Cauchy 序列.
证明. 设数列
(xn)→a, 由极限定义,
∀ε∈R+,
∃N∈N∗ 使得
n⩾N 时有
∣xn−a∣<ε/2. 任取
m,n⩾N,
∣xm−xn∣=∣(xm−a)−(xn−a)∣<∣xm−a∣+∣xn−a∣<2ε+2ε=ε于是满足 Cauchy 序列定义.
证明. 设数列
(xn) 为 Cauchy 序列,