用户: HoshinoKoji/分析学/分析学基础/实数的基本性质

1确界原理

定义 1.1 (最大值). 设 $X\subseteq \mathbb{R}$, 若 $\exists s\in X$ 使得 $\forall x\in X$ 有 $s\ge x$, 则称 $s$ 是 $X$ 的最大值, 记为 $s=\max X$.

由定义可以看到, 如果某个实数的子集有最大值, 那么最大值一定来自这个子集. 这要区别于下文主要论述的确界.

定义 1.2 (上界, upper bound). 设 $X\subseteq \mathbb{R}$, 若 $\exists u\in \mathbb{R}$ 使得 $\forall x\in X$ 有 $u\ge x$, 则称 $X$ 有上界, $u$ 是 $X$ 的上界.

下界的定义同理可得, 不必赘述.

定义 1.3 (上确界, supremum). 设 $s$ 是 $X$ 的上界, 且对于 $X$ 的任意上界 $u$ 有 $s\le u$, 则称 $s$ 是 $X$ 的上确界, 记为 $s=\sup X$.

下确界 (infimum) 的定义也同理可得, 其中 $X$ 的下确界记为 $\inf X$.

定义 1.4 (有界, bounded). 如果集合 $X\subseteq \mathbb{R}$ 既有上界也有下界, 则称 $X$ 有界. 这也可以等价地表述为, $X$ 有界当且仅当 $X$ 满足 $\exists M\in \mathbb{R}$, 使得 $\forall x\in X$ 有 $|x|\le M$.

由 $\mathbb{R}$ 的构造过程, 我们有确界原理.

定理 1.5 (确界原理). 若 $X\subseteq \mathbb{R}$ 有上界, 则 $X$ 有上确界.

证明. 这需要根据 $\mathbb{R}$ 的具体构造方式来阐述, 故此处从略. 不失严谨性地, 我们可以将确界原理以及有序域的性质视为实数所配备的公理.

$\square$

从更高的观点出发, 一般也称确界原理为实数的完备性. 基于确界原理, 我们可以阐述一系列与确界相关的性质.

推论 1.6. 若 $X\subseteq \mathbb{R}$ 有下界, 则 $X$ 有下确界.

证明. 待补充.

$\square$

定理 1.7 (确界的等价定义). 设 $X\subseteq \mathbb{R}$ 有上界, $s=\sup X$ 当且仅当对于任意正实数 $\epsilon$, $\exists x\in X$ 使得 $x>s-\epsilon$.

证明. 待补充.

$\square$

命题 1.8. 设 $X\subseteq \mathbb{R}$ 有上界, $U=\{u\mid u\text{是}X\text{的上界}\}$, 则 $s=\sup X=\inf U$.

证明. 首先 $s$ 是 $U$ 的下界, 因为由定义可知 $\forall u\in U$, 有 $u\ge s$. 而如果 $r\in \mathbb{R}$ 是 $U$ 的下界, 则一定有 $r\le s\in U$, 得证.

$\square$

命题 1.9 ([UA] 习题 1.3.7). 设 $X\subseteq \mathbb{R}$, 如果 $x\in X$ 是 $X$ 的上界, 那么 $x=\sup X$. (或: $\max X=\sup X$)

证明. 如果存在 $X$ 的上界 $y$ 使得 $y<x$, 那么对于任意 $r\in X$, $r\le y<x$, 但注意到可以令 $r=x$, 于是矛盾.

$\square$

命题 1.10 ([UA] 习题 1.3.6). 设 $A,B\subseteq \mathbb{R}$, 定义$$A+B:=\{a+b\mid a\in A,b\in B\},$$若 $A,B$ 均有上界, 那么 $\sup (A+B)=\sup A+\sup B$.

证明. 首先说明 $\sup A+\sup B$ 是 $A+B$ 的上界. 对于任意 $r=a+b\in A+B$, 其中 $a\in A$, $b\in B$, 我们有 $\sup A\ge a$, $\sup B\ge b$, 因此有 $\sup A+\sup B\ge a+b$.

然后说明 $\sup A+\sup B$ 是最小的上界. 我们反设存在 $A+B$ 的上界 $u$ 使得 $u<\sup A+\sup B$, 此时 $u-\sup A<\sup B$, 由定义可知 $u-\sup A$ 不是 $B$ 的上界, 也即存在 $b\in B$ 使得 $b>u-\sup A$.

这进一步意味着 $\sup A>u-b$, 即 $u-b$ 不是 $A$ 的上界, 存在 $a\in A$ 使得 $a>u-b$, 也即 $a+b>u$, 而 $a+b\in A+B$, 与 $u$ 是 $A+B$ 的上界矛盾, 这就完成了证明.

$\square$

定义 1.11 (区间, interval). 给定 $a,b\in \mathbb{R}$ 且 $a<b$, 令$$\begin{array}{rl}(a,b)& :=\{x\mid a<x<b\}\\ [a,b]& :=\{x\mid a\le x\le b\}\end{array}$$称 $(a,b)$ 为开 (open) 区间, $[a,b]$ 为闭 (closed) 区间.

由此可以给出实数完备性的另一种描述.

定理 1.12 (闭区间套定理). 设闭区间序列 $I_n$ 单调, 即 $I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots$, 则 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{I}_n\ne \varnothing$.

证明. 待补充.

$\square$

推论 1.13 ([UA] 习题 1.4.8d). 设闭区间序列 $I_n$ 满足 $\forall N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ${\bigcap }_{n=1}^N{I}_n\ne \varnothing$, 则 ${\bigcap }_{n=1}^{\infty }{I}_n\ne \varnothing$.

证明. 待补充.

$\square$

2自然数、有理数与实数

定理 2.1 (实数的阿基米德性). $\forall r\in \mathbb{R}$, $\exists n\in \mathbb{N}$, 使得 $n>r$, 且对于任意正实数 $r$, $\exists n\in \mathbb{N}$, 使得 $1/n<y$.

证明. 待补充.

$\square$

定理 2.2 (有理数在实数中的稠密性). $\forall a,b\in \mathbb{R}$ 且 $a<b$, $\exists r\in \mathbb{Q}$ 使得 $a<r<b$.

证明. 待补充.

$\square$

命题 2.3 (平方根). $\exists \alpha \in \mathbb{R}$, 使得 ${\alpha }^2=2$.

证明. 待补充.

$\square$

命题 2.4 ([UA] 习题 1.4.2). 设 $A\subseteq \mathbb{R}$ 有上界, $s\in \mathbb{R}$ 满足对于任意自然数 $n>0$, $s+1/n$ 是 $A$ 的上界, $s-1/n$ 不是 $A$ 的上界, 则 $s=\sup A$.

证明. 反设 $s$ 不是 $A$ 的上界, 则 $\exists a\in A$ 使得 $a>s$, 于是显然 $\forall r\in (s,a)$, $r$ 不是 $A$ 的上界. 由定理 2.1, $\exists n\in \mathbb{N}$ 使得 $1/n<a-s$, 则 $s+1/n<a$, 与 $s+1/n$ 是 $A$ 的上界矛盾.

反设 $\exists u\in \mathbb{R}$ 且 $u<s$, 使得 $u$ 是 $A$ 的上界, 于是同理 $\exists n\in \mathbb{N}$ 使得 $u<s-1/n<s$, 与 $s-1/n$ 不是 $A$ 的上界矛盾.

$\square$

3基数

定义 3.1 (单射, injective). 映射 $f:X\to Y$ 满足若 $a\ne b$ 则 $f(a)\ne f(b)$ 时, 称 $f$ 为单射, 记为 $f:X\hookrightarrow Y$.

命题 3.2 ([UA] 习题 1.5.7). 存在从 $(0,1)\times (0,1)$ 到 $(0,1)$ 的单射.

证明. 待补充.

$\square$

定义 3.3 (满射, surjective). 映射 $f:X\to Y$ 满足 $\forall y\in Y$, $\exists a\in X$ 使得 $f(a)=y$, 则称 $f$ 为满射, 记为 $f:X\twoheadrightarrow Y$.

定义 3.4 (双射, bijective). 映射 $f:X\to Y$ 既是单射也是满射, 则称 $f$ 为双射. 若存在这样的映射 $f$, 则称集合 $X$ 与 $Y$ 等势, 记为 $X\sim Y$.

容易验证, 集合等势 $\sim$ 是一个等价关系.

定义 3.5 (可数集, countable set). 若存在从 $\mathbb{N}$ 到 $A$ 的双射, 则称 $X$ 为可数集, 否则称为不可数集.

定理 3.6. $\mathbb{Q}$ 是可数集, $\mathbb{R}$ 是不可数集.

证明. 待补充.

$\square$

定理 3.7. 若 $A\subseteq B$ 且 $B$ 为可数集, 则 $A$ 为有限集或可数集.

证明. 待补充.

$\square$

定理 3.8. 若 $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $A_n$ 为可数集, 则 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n$ 为可数集.

证明. 待补充. 将 $\mathbb{N}$ 排成二维表格.

$\square$

命题 3.9. $[a,b)\sim (a,b)\sim (0,1)\sim (0,+\infty )\sim \mathbb{R}$.

证明. 待补充.

$\square$

命题 3.10. 设 $X=\{O_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$ 为一族开区间, 若 $I$ 不可数, 则 ${\bigcup }_{\alpha \in I}X$ 不可能为不交并.

证明. 待补充. 定义映射 $f:X\to \mathbb{Q}$, $(a,b)\mapsto r$, 容易验证 $f$ 为单射, 则 $f:X\to \mathrm{Im}X$ 为双射, 而 $\mathrm{Im}X\subseteq \mathbb{Q}$ 为有限集或可数集, 矛盾.

$\square$

定理 3.11 (Schröder–Bernstein 定理). 若存在 $f:X\hookrightarrow Y$ 和 $g:Y\hookrightarrow X$, 则 $X\sim Y$.

证明. 待补充.

$\square$

命题 3.12. $\mathcal{P}(\mathbb{N})\sim \mathbb{R}$.

证明. 待补充. 首先考虑到 $\mathbb{R}\sim (0,1)$, 取唯一的十进制序列 $0.a_1{a}_2{a}_3\cdots \in (0,1)$, 由 $f$ 映射为 $\{a_1,10+a_2,\dots ,10(n-1)+a_n,\dots \}\in \mathcal{P}(\mathbb{N})$.

对于 $\mathbb{N}$ 的有限和无限子集, 都可以排序后表示为形如 $a_1,a_2,\dots$ 的序列, 使得 $a_i<a_{i+1}$, 并由 $g$ 映射为 $0.a_1^{(2)}9a_2^{(2)}9\cdots a_n^{(2)}9\cdots$, 特别地令 $g(\varnothing )=0.9$, 随后验证 $f,g$ 均为单射.

$\square$