用户: HoshinoKoji/分析学/分析学基础/戴德金实数的构造

1前置内容

我们从有理数开始讨论实数的构造及其性质.

基本结构

定义 1.1 (笛卡尔积, Cartesian product). 设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 为集合, 称 $\{(x_1,x_2,\dots ,x_n)\mid x_i\in X_i,i\le n\}$ 是 ${\left\{X_i\right\}}_{i\le n}$ 的笛卡尔积或直积, 记为 ${\prod }_{i=1}^n{X}_i$ 或 $X_1\times X_2\times \cdots \times X_n$.

特别地, 若 $X=X_1=X_2=\cdots =X_n$, 也将其笛卡尔积记为 $X^n$.

定义 1.2 (幂集, power set). 称 $\{T\mid T\subseteq S\}$ 为 $S$ 的幂集, 记为 $\mathcal{P}(S)$.

定义 1.3 (二元运算, binary operation). 设 $X$ 为集合, 称映射 $f:X\times X\to X$ 为 $X$ 上的二元运算.

定义 1.4 (域, field). $F$ 是一个集合.

定义 1.5 (二元关系, binary relation). 设 $X$ 为集合, $R\subseteq X\times X$, 则称 $R$ 是 $X$ 上的二元关系, 并规定对于任意 $x,y\in X$, $xRy$ 当且仅当 $(x,y)\in R$.

定义 1.6 (偏序集, partial ordered set). 设 $P$ 为集合, $\le$ 是 $P$ 上的二元关系, $a,b,c\in X$, 并且满足以下性质:

1.	$a\le a$,
2.	$a\le b,b\le c\Rightarrow a\le c$,
3.	$a\le b,b\le a\Rightarrow a=b$,

则称 $P$ 为偏序集, $\le$ 是 $P$ 上的偏序关系.

定义 1.7 (全序集, totally ordered set). 设 $O$ 为偏序集, 并且满足对于任意 $a,b\in O$ 有 $a<b$ 或 $a=b$ 或 $a>b$, 则称 $O$ 为全序集.

定义 1.8 (有序域, ordered field). 设 $F$ 是域和全序集, $a,b,c\in S$, 并且满足以下性质:

1.	$a<b\Rightarrow a+c<b+c$,
2.	$a<b,c>0\Rightarrow ac<bc$,

则称 $F$ 为有序域.

戴德金分割

定义 1.9 (戴德金分割, Dedekind cut). 设集合 $S\subseteq \mathcal{P}(\mathbb{Q})\setminus \{\varnothing ,\mathbb{Q}\}$, 并且满足以下性质:

1.	对于任意 $a\in S$ 和 $b\in \mathbb{Q}$, 若 $b<a$ 则 $b\in S$.
2.	$S$ 没有极大元, 即不存在 $m\in S$ 使得对于任意 $x\in S$, $m\ge s$.

则称 $S$ 是一个分割.

由分割的定义, 我们可以讨论其基本性质.

命题 1.10 (分割的性质). 设 $S$ 是一个分割, $a\in \mathbb{Q}$ 且 $a\notin S$, 那么对于任意 $b\in S$ 有 $a>b$.

证明. 反设 $a\le b$, 那么 $a<b$ 或 $a=b$. 如果 $a=b$, 那么 $a=b\in S$, 与 $a\notin S$ 矛盾; 如果 $a<b$, 由分割的定义有 $a\in S$, 同理矛盾可证.

$\square$

给定 $a\in \mathbb{Q}$, 我们很容易构造出形如 $\{x\in \mathbb{Q}\mid x<a\}$ 的分割, 但分割并非总能写成这样的形式.

命题 1.11. $a\in \mathbb{Q}$, 则 $\{x\in \mathbb{Q}\mid x<a\}$ 是一个分割.

2戴德金实数的构造

实数构造

定义 2.1 (戴德金实数). 令 $\mathbb{R}:=\{S\mid S\text{是分割}\}$ 为实数.

证明上述构造是有序域的过程较为冗长, 我们将分开若干部分进行.

全序集的证明

引理 2.2. $\mathbb{R}$ 是全序集.

证明. 证明过程实际上就是构造 $\mathbb{R}$ 的序结构和域结构的过程. 首先定义其序结构, 对于任意 $A,B\in \mathbb{R}$, 定义$$A\le B\iff B\subseteq B,$$由集合包含的性质可知 $\mathbb{R}$ 是偏序集, 只需验证 $\mathbb{R}$ 是全序集.

反设 $\mathbb{R}$ 不是全序集, 即存在 $A,B\in \mathbb{R}$ 使得 $A⊈B$ 且 $B⊈A$, 于是存在 $a\in A$ 且 $a\notin B$. 因此, 由命题 1.10 有对于任意 $b\in B$ 有 $b<a$, 而由分割定义有 $b\in A$, 即 $B\subseteq A$, 矛盾.

$\square$

加法定义

然后定义 $\mathbb{R}$ 的域结构. 按照如下方式定义加法: $$A+B:=\{a+b\mid a\in A,b\in B\},$$我们需要证明这种加法定义满足域的要求.

引理 2.3. $\mathbb{R}$ 的加法满足封闭性、交换律、结合律, 含有零元, 所有元素均有加法逆元.

证明. 分别考虑以下性质:

1.	封闭性, 即 $A+B$ 仍是一个分割. 显然, $A+B$ 不能为空集或 $\mathbb{Q}$, 否则 $A$ 和 $B$ 至少有一个是空集或 $\mathbb{Q}$. 对于任意 $r\in A+B$ 和 $s<r$, 由上述定义存在 $a\in A$ 和 $b\in B$ 使得 $r=a+b$. 由于 $r-s>0$, 根据分割定义可知 $a-(r-s)\in A$, 而注意到 $s=(a-(r-s))+b$, 即有 $s\in A+B$. 反设 $A+B$ 有极大元 $m$, 则存在 $m_A\in A$ 和 $m_B\in B$ 使得 $m=m_A+m_B$, 于是任给 $a\in A$ 有 $m_A+m_B=m\ge a+m_B$, 即 $m_A$ 是 $A$ 中的极大元, 矛盾, 可知 $A+B$ 无极大元.
2.	交换律, 由定义显然易得.
3.	结合律, 即 $(A+B)+C=A+(B+C)$, 由定义显然易得.
4.	具有零元. 不难构造出与 $\mathbb{Q}$ 类似的 $O:=\{x\in \mathbb{Q}\mid x<0\}$, 而 $O$ 显然是一个分割, 只需验证 $A+O=A$. 首先证明 $A+O\subseteq A$. 对于任意 $a\in A$ 和 $r\in O$, $a+r<a$, 故而有 $a+r\in A$, 结合加法定义, 这也就说明了 $A+O\subseteq A$. 然后证明 $A\subseteq A+O$. 对于任意 $a\in A$, 由于 $A$ 不存在极大元, 于是有 $a<a^{\prime }\in A$, 而 $0>a-a^{\prime }\in O$, 因此 $a$ 又可以表示为 $a=a^{\prime }+(a-a^{\prime })$, 可知 $a\in A+O$, 这也就说明了 $A\subseteq A+O$.
5.	具有加法逆元, 即构造 $-A$ 使得 $A+(-A)=O$. 定义$$-A:=\{x\in \mathbb{Q}\mid \exists a\notin As.t.x<-a\},$$其中显然有 $x<-a\iff a<-x$, 而这实际上是利用以下示意图的方法, 回避未定义的实数加法逆元: 我们需要验证上述构造是一个分割, 而且确实是加法逆元. $-A$ 显然非空, 因为 $A\ne \mathbb{Q}$ 意味着存在有理数 $a\notin A$, 取 $-a-1$ 即可; 因为至少存在一个 $r\in A$, 且对于任意 $x<r$ 有 $x\in A$, 所以对于任意 $a\notin A$, $a>r$, $-a<-r$, 取 $x=-r+1$, 易见 $x\notin -A$, 故而有 $-A\ne \mathbb{Q}$. 对于任意 $x\in -A$ 和 $y<x$, 由定义可知存在 $a\notin A$ 使得 $x<-a$, 因而 $y<-a$, 即 $y\in -A$. 反设 $-A$ 有极大元 $m$, 最后,

$\square$

3实数的性质