商半群作用

商 $\mathbf{S}$-系类似于商群或商环, 是由$S$-同余诱导的 $S$-系.

1定义

定义 1.1. 设 $\lambda$ 是左 $S$-系 $A$ 上的同余. 若在商集 $A/\lambda$ 上定义$$s[a{]}_{\lambda }=[sa{]}_{\lambda },\forall s\in S,a\in A,$$则 $A/\lambda$ 成为左 $S$-系, 称为 $A$ 关于 $\lambda$ 的商系.

2性质

定理 2.1 (同态基本定理). 设 $f:A\to B$ 是 $S$-同态, $\lambda$ 是 $A$ 上的同余且满足$$(a,b)\in \lambda ⟹f(a)=f(b),$$那么存在唯一的 $S$-同态 $g$ 使下图交换$$BAA/\lambda \text{ ,}fig$$其中 $i$ 是自然同态.

若定义$$\mathrm{Ker}f=\{(a,a^{\prime })\in A\times A|f(a)=f(a^{\prime })\},$$则当 $f$ 为满同态时还有$$A/\mathrm{Ker}f\cong B.$$

证明. 定义 $g:A/\lambda \to B$ 为$$g([a{]}_{\lambda })=f(a),$$可以验证 $g$ 确实是一个映射且是一个 $S$-同态, 还使上面的图交换.

假如 $g:A/\lambda \to B$ 也满足 $gi=f$, 则对任意 $a\in A$, 有$$g^{\prime }([a])=g^{\prime }i(a)=f(a)=gi(a)=g([a]),$$这给出 $g^{\prime }=g$.

当 $\lambda =\mathrm{Ker}f$ 时, 我们可以证明 $g$ 是单射, 因为$$g([a])=g([a^{\prime }])⟹f(a)=f(a^{\prime })⟹[a]=[a^{\prime }].$$

另外显然当 $f$ 是满同态时 $g$ 还是满同态, 从而 $g$ 是 $A/\mathrm{Ker}f$ 到 $B$ 的一个同构.

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3相关概念

•	$S$-系
•	$S$-同余
•	子 $S$-系
•	序 $S$-系
•	序 $S$-同余
•	Rees 同余
•	Rees 商
•	循环 $S$-系