Sharkovskii 序

约定. 在本文中,

• $f^n$ 均指代 $\underset{n\text{个}f}{\underbrace{f\circ \cdots \circ f}}$, 即 $f$ 迭代 $n$ 次.

Sharkovskii 序描述了 $\mathbb{R}$ 上区间 $I$ (可以是无穷区间) 到自身的连续映射 $f:I\to I$ 的各长度周期之相生关系. 简单来说, 在某长度的周期存在的假设下, 我们总能推出另一些长度的周期存在.

1描述

定义 1.1. 我们定义正整数 ${\mathbb{Z}}^{+}$ 上的 Sharkovskii 序如下, 将正整数分解为 $2$ 的幂和一个奇数的乘积: $$\begin{array}{rlrlrlrlrl}1\prec 2\prec 2^2\prec 2^3\prec \cdots \prec 2^n\prec & \cdots & & & & & & & & \\ & \cdots & \prec & 7\cdot 2^n& \prec & 5\cdot 2^n& \prec & 3\cdot 2^n& \prec & \\ & \cdots & & & & & & & & \\ & \cdots & \prec & 7\cdot 2& \prec & 5\cdot 2& \prec & 3\cdot 2& \prec & \\ & \cdots & \prec & 7& \prec & 5& \prec & 3.& & \end{array}$$

显然它是正整数上的全序.

定义 1.2. 给定映射 $f:X\to X$ 及 $x_0\in X$. 若使得 $f^k(x_0)=x_0$ 成立的最小正整数 $k=m$, 则称 $x_0$ 是 $f$ 的一个 $m$-周期点. $m=1$ 的特殊情形称不动点

所谓 Sharkovskii 定理, 一般指如下两个定理:

定理 1.3 (Sharkovskii 强迫定理). 区间 $I\subset \mathbb{R}$, 映射 $f:I\to I$ 连续. 若 $f$ 存在 $m$-周期点且 $m\succ l$, 则 $f$ 存在 $l$-周期点.

定理 1.4 (Sharkovskii 实现定理). 对任意 Sharkovskii 序的非空尾集 $T$, 即一个满足对任意 $a\in T$, 若 $b\prec a$ 则 $b\in T$ 的非空集合, 存在区间 $[0,1]$ 到自身的连续映射 $f_T$, 使得 $f_T$ 存在 $m$-周期点当且仅当 $m\in T$.

2历史

整个 Sharkovskii 序关系中, $1\prec 2$ 是最显然也是最早被重视的. 虽然本质是连续函数介值定理的简单应用, 但早在 19 世纪末 Poincaré 就用其研究二次常微分方程平面相图的稳定点. 而关于 $2\prec m$ 的研究则要到 20 世纪 50 年代, 在研究 $\{f^n\}$ 作为函数列的收敛性时, 这一序关系就作为副产品出现了: 这方面最早的结果是 Coppel 在 1955 年发表的论文中提到的定理: 闭区间 $I$ 到自身的连续映射, 要么 $f^n(x_0)$ 收敛对一切 $x_0\in I$ 成立, 要么 $f$ 有 $2$-周期点. 而在 1961 年, Sharkovskii 发现了 $2^m\prec n$, 其中 $n$ 非 $2$ 的幂. 到了 1964 年, Sharkovskii 定理的完整形式和证明才被发表出来.

值得一提的是, Sharkovskii 的结果在发表时并未受到重视, 直到 1975 年李天岩及其导师 Yorke 合作完成的《周期三蕴含混沌》一文中, 混沌的概念才被正式提出, 其中周期点的周期无上界这一条件正是由 $3\succ n$ 简单保证的.

3定理证明

(...)

4推广

(...)

5相关概念

•	动力系统
•	不动点
•	Coppel 定理

术语翻译

Sharkovskii 序 • 英文 Sharkovskii ordering • 德文 Sharkovskii-Ordnung • 法文 ordre de Sharkovskii