Riemann 球面

Riemann 球面是对一维复射影空间的称呼, 它是个一维复代数簇, 也是个 Riemann 面. 作为光滑流形, 它微分同胚于球面, 因此称为 Riemann 球面.

1定义

定义 1.1 (Riemann 球面). Riemann 球面是一维复射影空间 ${\mathbb{CP}}^1$. 这诱导了它的复代数簇以及 Riemann 面结构. 这样它作为集合是复数集 $\mathbb{C}$ 并一个点, 称为无穷远点.

2性质

通过球极投影, 可以证明

命题 2.1. Riemann 球面微分同胚于球面.

此外, 作为射影空间, 它满足下面的性质:

命题 2.2.

•	Riemann 球面上的亚纯函数是分式函数.
•	Riemann 球面的自同构群 (即到自身的双全纯映射) 同构于射影线性群 ${\mathrm{PGL}}_2(\mathbb{C})$. 此同构由$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\mapsto (z\mapsto \frac{az+b}{cz+d})$$给出.
•	Riemann 球面的切丛同构于 $\mathcal{O}(2)$.
•	Riemann 球面上有度量$$d{s}^2=\frac{1}{(1+|z{|}^2{)}^2}dzd\bar{z}=\frac{1}{(1+u^2+v^2{)}^2}(d{u}^2+d{v}^2).$$它可以由球面的标准度量由球极投影诱导, 也可以作为 Fubini–Study 度量的一维情形.

证明.

•	设 $f$ 是 Riemann 球面上的亚纯函数. 其极点的集合是 Riemann 球面这个紧集的离散子集, 则为有限集 $\{a_1,\dots ,a_n\}$. 设 $f$ 在这些点的主部是 $p_1,\dots ,p_n$, 那么 $f-p_1-\cdots -p_n$ 是 Riemann 球面上的全纯函数, 必是常数. 既然 $f$ 是有限个分式函数 $p_1,\dots ,p_n$ 与一个常数相加, $f$ 亦是分式函数.
•	(...)

$\square$

3相关概念

•	Riemann 面
•	射影空间
•	球面

术语翻译

Riemann 球面 • 英文 Riemann sphere • 德文 riemannsche Zahlenkugel • 法文 sphère de Riemann